ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 13
3. Динамический расчет вала
Вал вращается с частотой . - массы дисков, - эксцентриситеты (расстояние от центра вращения до центра масс), = 1,2,3, … , .
При вращении возникают центробежные силы 2 , их проекции на ось y
имеют вид ( ) = 2 cos .
Получаем ту же расчетную схему, что и в предыдущей лекции
1
|
|
|
|
|
( ) = cos = |
|
2 |
|
cos , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
∑ ̈ |
|
|
+ |
|
, |
|
|
( = 1,2,3, … , ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица единичных податливостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
̅ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Перемещения от внешних сил |
|
|
= |
|
|
0 cos , где |
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
̅ |
|
3 |
(∑ |
|
|
|
̅ |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= ∫ |
0 |
|
= ∫ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑ |
= 2 |
∑ |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнения движения принимают вид
2
∑ |
̈ |
|
+ |
|
= 2 ∑ |
|
cos , |
( = 1,2,3, … , ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Делаем подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
cos( ), |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 ∑ |
|
|
|
+ |
|
= 2 |
∑ , |
( = 1,2,3, … , ) |
|||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|||
В матричном виде
( − 2 ) 0 = 2
Решение
0 = ( − 2 )−1 2
Частоты вращения вала, при которых определитель матрицы ( − 2 ) равен нулю, называют критическими. Критические частоты совпадают с собственными частотами изгибных колебаний вала. Их число равно числу степеней свободы механической системы.
Для рабочей частоты вращения вала раб определяются 0 и амплитудные динамические усилия
= 2( + 0)
По ним строится эпюра изгибающего момента и в опасном сечении определяются максимальные напряжения.
Пример
d=50 мм, m=10 кг, L=2м, E=200 ГПа
1 = 0.1 мм, 2 = 0.2 мм, n=3000 об/мин
3
Матрица единичных податливостей
4 ̅ |
̅ |
|
|
4 |
̅ |
̅ |
|
|
3 |
||||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|||||||
11 = 22 = ∫ |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 ̅ |
̅ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
12 = 21 = |
∫ |
|
1 |
2 |
= |
17 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемещения от амплитудного значения силы
|
3 |
|
̅ |
|
3 |
|
̅ |
|
|
̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
+ |
) |
|
|
|
|
|||
|
= ∫ |
0 |
1 |
= ∫ |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
= 1 |
11 |
+ 2 12 |
= |
||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= 2 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
11 |
|
|
2 |
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
̅ |
|
3 |
|
̅ |
|
|
̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
+ |
) |
|
|
|
|
|||
|
= ∫ |
0 |
1 |
= ∫ |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
= 1 |
21 |
+ 2 22 |
= |
||
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= 2 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
21 |
|
|
2 |
|
2 |
22 |
|
|
|
|
|
Уравнения движения
|
∑ |
̈ |
|
+ |
|
= |
|
0 |
cos , |
|
( = 1,2,3, … , ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̈ |
+ |
̈ |
|
+ |
= 2( |
+ |
|
|
) cos |
||||||||||
1 |
1 |
11 |
|
2 |
|
2 |
12 |
1 |
|
1 |
1 |
11 |
|
2 |
2 |
12 |
|
||
̈ |
+ |
|
̈ |
|
+ |
2 |
= 2( |
+ |
|
|
|
) cos |
|||||||
1 |
1 |
21 |
|
2 |
|
2 |
22 |
|
|
1 |
1 |
21 |
|
2 |
2 |
22 |
|||
Делаем подстановку
4
|
|
|
|
|
|
|
|
1( ) = 01 cos θt , |
|
|
2( ) = 02 cos θt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1 − 2 |
) − 2 |
|
|
= 2( |
+ |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11 |
01 |
|
2 |
|
12 |
02 |
|
|
|
1 |
1 |
11 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
−2 |
|
|
+ (1 − 2 |
|
) |
|
|
= 2( |
|
+ |
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
21 |
01 |
|
|
|
2 |
|
22 |
|
02 |
|
|
1 |
|
1 |
21 |
|
|
2 |
2 |
22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Подставляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 − 2 |
3 |
|
3 |
) |
− 2 |
|
|
17 3 |
|
|
|
= 2 ( |
|
3 |
|
3 |
+ |
|
17 |
|
3 |
) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 4 |
|
01 |
|
|
02 |
|
|
|
1 |
|
1 4 |
|
|
2 |
|
2 24 |
|||||||||||||||||||||||||||
−2 |
17 |
|
3 |
|
|
|
+ (1 − 2 |
|
|
3 |
3 |
) |
|
|
= 2 |
( |
|
|
|
|
17 3 |
+ |
|
|
3 |
|
3 |
) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 24 |
01 |
|
|
|
|
2 4 |
|
02 |
|
1 |
1 24 |
|
|
|
|
2 2 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 = 22.93 рад/ , |
|
|
2 = 135.6 рад/ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Подставляем данные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Строим графики
5
При → ∞ 0 → это явление называется самоцентрированием вала.
АЧХ и ФЧХ для первого диска
Для второго
Рабочее число оборотов в минуту 3000, что соответствует = 314 |
|
рад |
= 50 Гц. |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этой |
частоты |
01 = −0,0893 мм, 02 = −0,212 мм, это почти |
1 = 0.1 мм, |
||||
2 = 0.2 мм |
|
|
|
|
|
|
|
Амплитудные динамические усилия |
|
|
|
|
|||
|
= 2( |
+ ) = 10 3142 (1 10−4 |
− 0,893 10−4) = 10,5 н |
||||
1 |
1 |
1 |
01 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 = 2 2( 2 + 02) = 10 3142 (2 10−4 − 2,12 10−4) = −12,1 н
Строим эпюру амплитуды изгибающего момента
|
|
|
12,9 32 |
|
|
|
Максимальные напряжения = |
|
= |
|
= 1,05 МПа < |
−1 |
|
|
(0,05)3 |
[ ] |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
7