ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 12
2. Вынужденные колебания
1
( ) = |
cos , |
|
|
= |
cos |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Физический смысл - перемещение j – той точки под действием единичной силы приложенной в k – той точке, - перемещение j – той точки под действием внешних сил. В отличие от свободных колебаний, движение происходит под действием сил упругости, сил инерции = − ̈и внешних сил ( ). Перемещение j – той массы определяется
= − ∑ |
|
|
̈ + |
|
|
, ( = 1,2,3, … , ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
||||||||
или введя обозначение |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
̈ |
|
+ |
|
|
= |
0 |
cos , |
( = 1,2,3, … , ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
cos( ), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 ∑ |
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
0 |
, |
( = 1,2,3, … , ) |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
=1
|
1 − 2 |
|
−2 |
|
|
… |
|
−2 |
|
|
01 |
||
|
1 |
11 |
|
2 |
|
12 |
|
|
|
1 |
01 |
||
|
−2 |
1 − |
2 |
|
… |
−2 |
|
02 |
02 |
||||
( |
1 |
21 |
|
|
2 22 |
|
|
2 |
) ( … ) = |
||||
… |
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
… |
||
|
−2 |
|
−2 |
|
… |
|
|
1 − 2 |
|
|
( 0) |
||
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
Для решения полученной системы удобно воспользоваться правилом Крамера
= |
1 |
, |
= |
2 |
, … , |
= |
n |
|
|
|
|||||
01 |
|
|
02 |
|
|
0 |
|
где
2
|
1 − 2 |
|
−2 |
|
|
… |
−2 |
|
|
||||||
|
|
1 |
11 |
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
1 |
||
= | |
−2 |
|
1 − 2 |
|
… |
−2 |
|
|
|
||||||
|
1 |
21 |
|
… |
2 22 |
|
|
|
2 | |
||||||
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
||
|
−2 |
|
−2 |
|
|
… |
|
1 − 2 |
|
||||||
|
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
01 |
|
−2 |
|
|
… |
|
−2 |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
1 = | |
02 |
1 − 2 |
|
|
|
… |
|
−2 |
|
|
|
||||
|
2 |
|
22 |
|
|
|
|
2 | |
|||||||
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
0 |
−2 |
|
… |
|
1 − 2 |
|
|
|
||||||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 − 2 |
|
01 |
… |
−2 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
11 |
|
|
1 |
|
||
2 |
= | |
−2 |
|
02 |
… |
−2 |
|
| , ... |
|||
|
… |
1 |
11 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
|
−2 |
|
0 |
… |
1 − 2 |
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
При = , то есть при совпадении частоты возбуждения колебаний с любой из собственных частот ( = , , , … , ), происходит резонанс.
Зависимости | 0 |( ) - называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ).
Пример
(d=50 мм, m=10 кг, L=2м, E=200 ГПа)
Матрица единичных податливостей
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ̅ |
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
̅ |
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
11 |
= 22 = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
12 = 21 = ∫ |
|
1 |
2 |
= |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемещения от амплитудного значения силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
01 = ∫ |
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнения движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
̈ |
+ |
|
= |
|
0 |
cos , |
|
( = 1,2,3, … , ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̈ |
11 |
+ ̈ |
|
+ |
1 |
= |
|
|
|
01 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
̈ |
21 |
+ ̈ |
|
+ |
2 |
= |
|
|
|
02 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Делаем подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1( ) = 01 cos θt , |
|
|
|
2( ) = 02 cos θt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − 2 11) 01 − 2 12 02 = |
01 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2 21 01 + (1 − 2 22) 02 = |
02 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляем |
, |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 − 2 |
3 |
|
3 |
) |
|
|
|
− 2 |
17 3 |
= |
3 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
−2 |
17 3 |
|
|
|
+ (1 − 2 |
|
3 |
|
3 |
) |
|
|
|
|
= |
|
17 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
24 |
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
02 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(1 = 22.93 рад/ , |
|
|
2 = 135.6 рад/ ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правило Крамера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
(1 − 2 3 |
3 ) + |
17 3 |
2 |
17 3 |
|||
|
= |
4 |
|
4 |
|
24 |
|
|
24 |
|
|
|
3 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|||
01 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(1 − 2 |
3 |
) |
− ( 2 |
17 |
) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
17 3 (1 − 2 3 3 ) + 3 3 |
2 |
17 3 |
||||||
|
= |
24 |
4 |
4 |
|
|
24 |
|||
|
|
3 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|||
02 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(1 − 2 |
3 |
) |
− ( 2 |
17 |
) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
24 |
|
|
|
Подставляем данные
01 =
02 =
АЧХ получается если построить модуль | 01|( ), | 02|( ).
Фазо-частотная характеристика:
Запишем решение ( ) = 0 cos θt = | 0 | cos(θt + φi)
Если 0 > 0 то ( ) = 0 cos θt = | 0 | cos(θt) следовательно φi = 0.
Если 0 < 0 то ( ) = 0 cos θt = | 0 | cos(θt + π) следовательно φi = π.
5
6