ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 11
Изгибные колебания валов
1.Свободные колебания
1
|
Рассмотрим балку |
с |
сосредоточенными массами |
, |
, … , , … , |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Вертикальное перемещение каждой массы обозначим , |
, … , , … , |
|
. Эпюры |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
изгибающих |
моментов |
от |
единичной |
силы, приложенной в |
j |
– той |
точке |
||||||||||
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, … , , … , . Определяем матрицу единичных податливостей |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напомним физический смысл - перемещение j – той точки под действием единичной силы приложенной в k – той точке. Свободные колебания происходят под действием сил упругости и сил инерции = − ̈. Перемещение j– той массы определяется
|
= − ∑ |
̈ , |
( = 1,2,3, … , ) |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
Отсюда получаем (8.4).
2
3
Пример
Матрица единичных податливостей
4 ̅ |
̅ |
|
|
4 |
̅ |
̅ |
|
|
3 |
||||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|||||||
11 = 22 = ∫ |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 ̅ |
̅ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
12 = 21 = |
∫ |
|
1 |
2 |
= |
17 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения движения
|
= − ∑ |
̈ , |
( = 1,2,3, … , ) |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
4 |
|
̈ |
11 |
+ ̈ |
12 |
+ |
1 |
= 0 |
1 |
2 |
|
|
|||
̈ |
21 |
+ ̈ |
22 |
+ |
2 |
= 0 |
1 |
2 |
|
|
Делаем подстановку
1( ) = 1 cos( + ) , |
2( ) = 2 cos( + ) |
Получаем
−2 11 1 − 2 12 2 + 1 = 0 −2 21 1 − 2 22 2 + 2 = 0
Группируем
(1 − 2 11) 1 − 2 12 2 = 0 −2 21 1 + (1 − 2 22) 2 = 0
Подставляем
(1 − 2 |
3 |
|
3 |
) − 2 |
|
17 3 |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
24 |
||||||||||||||
|
|
|
|
4 1 |
|
|
2 |
|||||||||
−2 |
17 |
|
3 |
+ (1 − 2 |
|
3 |
|
3 |
) = 0 |
|||||||
24 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|||||||
Вводим обозначение
= 2 3
(1 − |
3 |
) 1 |
− |
17 |
2 |
= 0 |
|
|
|||||
4 |
24 |
17 3
−24 1 + (1 − 4 ) 2 = 0
Условие существования нетривиального решения
|
|
3 |
2 |
17 |
|
2 |
|
= (1 |
− |
|
) |
− ( |
|
) |
= 0 |
4 |
24 |
||||||
Корни |
|
|
|
|
|
|
|
1 = 0.686, |
2 = 24.0 |
||||||
В размерном виде (d=50 мм, m=10 кг, L=2м, E=200 ГПа)
5
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
1 |
= 22.93 рад/ , |
|
|
= √ |
2 |
= 135.6 рад/ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определяем формы колебаний |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(1 − |
|
3 |
|
) |
− |
17 |
|
|
= 0 |
→ |
= |
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
24 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
− |
17 |
|
+ (1 − |
3 |
) |
= 0 |
→ |
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
24 |
|
1 |
1 |
|
|
4 |
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||
1= (1)
(1 − |
|
3 |
|
) |
− |
17 |
|
= 0 |
→ |
= − |
||||
4 |
24 |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|||||
− |
17 |
|
|
+ (1 − |
3 |
|
) = 0 |
→ |
= − |
|||||
24 |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
4 |
2 |
2 |
1 |
2 |
||||
1= (−1)
6
7