ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА Лекция 13
Статически неопределимые системы при изгибе
Статически неопределимые системы это такие системы, в которых реакции связи, а следовательно, и внутренние силовые факторы, не могут быть определены только из уравнений равновесия.
Степень статической неопределимости n – разность между числом неизвестных реакций связи и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы.
(В примере n=3)
Основной системой называется статически определимая система, полученная из исходной путем отбрасывания «лишних» связей. Основная система должна деформироваться также как исходная система.
Решаем n задач для = 1 ( = 1,2, … , )
И определяем перемещение (прогиб или угол поворота) точки i от
силы k
= 0
Решаем задачу для основной системы с нагрузками
1
внешних |
|
∆ |
перемещение |
(прогиб |
или угол |
поворота) точки i от |
|||||
Находим |
|
||||||||||
|
нагрузок |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∆ = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
11 1 |
+ 12 2 |
0 |
|
|
= 0 |
|
||
|
|
|
+ 13 3 |
+ + ∆1 |
|
||||||
Уравнения совместности деформации имеют вид |
|
||||||||||
|
|
|
1 1 |
+ 2 2 |
+ 3 |
...3 |
+ + ∆ = 0 |
(1) |
|||
|
|
|
1 1 |
+ 2 2 |
|
|
... |
+ + ∆ = 0 |
|||
|
|
|
+ 3 3 |
|
|||||||
Это канонические уравнения метода сил.
Число уравнений = число неизвестных = n – степени статической
неопределимости. |
|
|
|
|
|
|
|
момента |
|
|
|
, после чего строим эпюру изгибающего |
|||
Из этих уравнений находятся |
|
||||||
|
|
= + + + + |
|||||
Уравнения (1) достаточно |
можно |
обобщить |
на случай наличия в |
||||
1 |
1 |
|
2 2 |
3 |
|||
статически неопределимой системе монтажных зазоров. Пусть опорные
стержни 1,2,...,n выполнены длиннее требуемых размеров на величину |
|
|
(монтажный зазор). Канонические уравнения метода сил запишутся в |
виде |
|
|
∆0 |
|
(1), но справа вместо нулей будут ∆0. |
|
|
2
|
Пример |
= , |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11 |
= |
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||
∆1 |
|
|
|
= |
1 |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 1 |
+ ∆ 1 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
+ |
2 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
+ |
|
= − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дифференциальное уравнение изгиба балки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(***) |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вспоминаем формулу из 11 лекции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как связаны радиус кривизны нейтрального слоя ρ и прогиб v?
3
Длина дуги = = √ 2 |
+ 2 = |
1 + 2 |
≈ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с учетом (***) |
|
|
|
2 |
|
= |
|
= 2 |
|
2 = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||
Возьмем производные |
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
4 = |
|
= |
|||||||||
|
|
|
3 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вспомнили |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
дифференциальные |
|
|
|
|
|
зависимости |
|||||||||||
внутренними силовыми факторами |
|
|
= , |
= . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ограничимся случаем ( ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Это дифференциальное уравнение |
изгиба балки. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 = + 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|||||
|
|
|
|
= |
2 = |
2 + 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
= |
63 + 1 |
22 |
+ 2 + 3 |
|||||||||||||
|
|
= |
4 |
|
|
3 |
+ 2 |
|
2 |
+ 3 + 4 |
|
||||||||||
|
|
24 + 1 6 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
между
(1)
Получаем решение с точностью до четырех констант, которые находим из граничных условий.
4
Типичные граничные условия Жесткая заделка
(0) = 0; |
(0) = 0; |
( ) = 0; |
( ) = 0; |
Шарнир |
|
|
|
(0) = 0; |
(0) = ; |
( ) = 0; |
( ) = ; |
|
|
|
|
Свободный край
(0) = ; |
(0) = ; |
( ) = ; |
( ) = ; |
Пример
(0) = 0; |
|
(0) = ; |
( ) = 0; |
( ) = 0. |
|
Граничные условия |
|
|
|
|
|
Подставляем в (1) |
( = 0) 4 = 0; |
2 = |
|
||
|
|
|
|
|
|
5
|
= 1 |
3 |
+ 2 |
2 |
+ 3 + 4 |
= 0 |
|||||
|
6 |
2 |
|||||||||
1 |
1 |
2 |
+ 2 |
+ 3 = 0 |
|
|
|||||
= −3 ; 2 = ; 3 = − ; 4 = 0; |
|||||||||||
Решаем полученную сис |
тему |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
||||
Запишем решение (1)2с найденными |
константами интегрирования |
||||||||||
|
= − |
4 |
|
|
|||||||
|
|
= 3 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
+ |
|
|
|
= 2 |
= − 2 |
|
|
|||||||
|
= |
|
= − |
3 2 |
|
||||||
|
|
2 2 + − |
4 |
||||||||
|
= − |
3 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
2 |
6 |
+ |
2 + 3 − |
4 |
|
|||||
6