ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 12
Потенциальная энергия упругой деформации при изгибе
Для одного волокна с координатой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
1 |
= |
1 |
|
2 |
= |
1 |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для малого элемента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|||||||||
|
|
|
= ∫ = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(***) : |
|
= |
|
; |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ρ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полная энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внешние нагрузки прикладываются квазистатически.
Потерями на трение пренебрегаем.
Интеграл Максвелла – Мора
Задача 1: Определить перемещение к точки К под действием сил
( = 1,2,3, . . , )
1
I.До приложения внешних нагрузок приложим в точке К служебную силу К.
Потенциальная энергия
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь = ( ) - изгибающий момент от силы К
II.Не снимая К, приложим внешние нагрузки , при этом точка К переместится на к (то что мы ищем).
Работа сил
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
при этом сила К совершает работу К К. Полная энергия
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||
= |
+ |
+ |
|
= |
|
∫ |
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
+ |
|
К |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
К |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
К К |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
= ( ) - изгибающий момент от сил |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III.С другой стороны
|
1 |
|
( |
+ )2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
∫ |
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
+ ∫ |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравнивая II , III
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= ∫ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
К |
К |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
- изгибающий момент в балке от единичной |
|||||||
= |
, где |
|||||||||
|
1 К |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
силы приложенной в точке К ( К = 1). |
|
|
|
|
|
|
||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
К = ∫ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл Максвелла – Мора
Задача 2: Определить угол поворота к сечения К под действием сил
( = 1,2,3, . . , )
I.До приложения внешних нагрузок приложим в точке К служебный момент МК. Потенциальная энергия
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь = ( ) - изгибающий момент от сосредоточенного момента
К
II.Не снимая К, приложим внешние нагрузки , при этом сечение К
повернется на к (то что мы ищем). ....
Повторяем все выкладки, заменяя работу К К на К К
Получаем интеграл Максвелла – Мора
3
|
|
|
̅̅̅̅ |
|
||
|
|
= ∫ |
||||
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
где |
̅̅̅̅ |
- изгибающий |
момент в балке от единичного момента |
|||
1 |
||||||
приложенного в точке К (МК = 1).
Формула Симпсона
Обозначим
|
̅̅̅̅̅ |
|
|
|
|
( ) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) |
|
∫ ( ) |
|||
|
|
|
0 |
|
|
( ) = 0 |
∙ ( |
|
|||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
2 |
||
( ) = 0 + 1 |
|
∙ [ (0) + ( )] |
|
2 |
( ) = 0 + 1 + 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
∙ [ (0) |
+ 4 ( |
|
) + ( )] |
|
6 |
2 |
|||
Формула Симпсона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
̅̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= ∫ |
1 |
|
|
= |
|
̅̅̅̅ |
(0) (0) |
̅̅̅̅ |
( |
|
) |
( |
|
̅̅̅̅ |
( ) ( )] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
6 |
∙ [ |
+ 4 |
|
|
) + |
|||||||||
К |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
|
= |
|
= − |
2 |
0 < < 2 |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= 32 − |
2 < < 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
0 < < |
|
||||
|
1 = 0 |
|
||||||
|
̅ |
|
= − |
< < 3 |
||||
|
1 |
|
||||||
|
3 |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
1 |
= |
+ |
+ |
|||
|
|
|||||||
К |
|
|
|
|
К1 |
К2 |
К3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
К1 |
= |
|
|
|
∫ 0 ∙ ( − |
|
|
|
) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
К2 |
= |
|
|
|
∫ ( − ) ∙ ( − |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫ ( − ) ∙ (32 |
|
− ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
К3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользуемся формулой Симпсона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
( ) ( )] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
) |
||||||||||||||||||||
6 |
|
∙ [ |
(0) (0) |
+ 4 |
2 |
|
|
|
2 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||
К2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2 = |
|
|
|
∙ [0 ∙ |
|
2 |
|
− 4 |
32 |
− ∙ 0] |
= − |
1 4 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
|
|
∙ [− ∙ 2 |
− 4 |
3 2 |
|
− 2 ∙ 0] = − |
|
2 4 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
К3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные по формуле Симпсона К2 |
и К3 совпадают с точными |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значениями определенных интегралов. Ответ
19 4К = К1 + К2 + К3 = − 24
6