ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 11
Пример построения эпюр и
Рассмотрим балку, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой, сосредоточенной силой = и сосредоточенным моментом = 2. Определяем опорные реакции, горизонтальная реакция = 0. Разбиваем балку на участки I и II.
Проводим сечение на первом участке, отбрасываем правую часть и ее действие заменяем внутренними силовыми факторами и (на рис. I показаны положительные и ).
Из условия равновесия
∑ = 0: − − = 0
2 ∑ = 0: − + 2 + = 0
Получаем
= − = −
|
= − |
2 |
= − |
2 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
Эти формулы справедливы на первом участке, то есть для
0 < < 2
1
Строим под схемой два графика ( ) и ( ) на первом участке.
Аналогично проводим сечение на втором участке. (рис. II). Из условия равновесия
∑ = 0: − 2 − = 0
∑ = 0:
− + 2 ( − ) − + = 0
Получаем
= − 2 = −
= − 2 ( − ) + = − 2 ( − )
+ 2 = 32 −
Формулы справедливы на втором участке, то есть для
2 < < 3
Строим два графика ( ) и ( ) на втором участке.
2
Вывод формулы для напряжений при чистом изгибе
Вводим гипотезы:
1.Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): при изгибе стержней сечения плоские и нормальные оси стержня остаются плоскими и нормальными оси и после деформации
2.Гипотеза о ненадавливании волокон: волокна стержня при деформации не надавливают друг на друга. Напряжения и малы по сравнению с
3.Выполняется закон Гука =
Рассмотрим изгиб элемента длиной .
3
Нейтральный слой – геометрическое место точек не испытывающих осевой деформации. На рисунке - радиус кривизны нейтрального слоя (пунктирная линия). Рассмотрим слой волокон на расстоянии y от нейтрального слоя, и определим его деформацию.
|
= (−)− |
= (−)− = − |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(По определению нейтрального слоя = ).
По закону Гука |
|
= |
= − |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изгибающий момент выражаем через напряжения
= − ∫
Подставим (2) в (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − ∫ = ∫ |
|
= |
|
∫ 2 = |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= ∫ |
2 – осевой момент инерции сечения. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (2)
|
|
|
|
||
= − |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
(2)
(3)
(***)
Далее «- « опускаем
=
Здесь y – расстояние до нейтрального слоя.
Определение положения нейтрального слоя
При чистом изгибе все внутренние силовые факторы равны нулю, кроме
≠ 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
= ∫ |
|
|
= |
|
∫ |
= |
|
=0 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ∫ |
– статический момент инерции сечения. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: = 0. Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения.
Для расчета на прочность
= < [ ]
Распределение напряжений по высоте сечения
5
Для симметричных относительно оси x сечений вводится =
момент сопротивления изгибу, где h – высота сечения
= < [ ]
Прямоугольное сечение
2= 6
Круглое
3= 32
Кольцевое
3= 32 (1 − 4)
-
( ⁄2)
6
Рациональные формы поперечного сечения балки
При одном и том же F (площадь поперечного сечения, вес, стоимость) можно получить разные (прочность).
Сравним два случая
1 |
= |
2 |
, 2 |
= |
2 |
|
|
||||
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
, |
2 |
|
= |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравним разные сечения
Двутавр
Швеллер
7