|
|
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА |
|
|
|
|||||
|
|
= ( , , ) |
Лекция 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Момент силы относительно точки |
|
|
|
|
|
|||||
̅= ( , , ) |
сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть задана. |
|
и радиус вектор точки ее приложения |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
Определение. Моментом силы |
|
|
̅ |
|
|
|||||
|
относительно точки (полюса) О |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется векторное произведение вектора |
и . |
|
. |
|
||||||
Возможно другое |
|
|
= ̅× ̅ |
|
||||||
|
|
обозначение момента |
= |
= ̅× |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Распишем определение (3)
̅= ̅× = ̅ ̅ = (̅ − ) + (̅ − ) + ( − )
= − ; |
= − ; = − |
(4) |
Таким образом |
|
|
Сравнивая (4) с (2), можно сделать следующий вывод:
Моменты силы относительно координатных осей равны проекциям
момента силы относительно начала координат на соответствующие оси
= ; = ; =
Свойства момента силы относительно полюса
1
1.момент̅ . силы относительно полюса ̅= 0, если ̅= 0,или = 0, или
2.Момент силы относительно полюса не меняется при переносе силы
вдоль линии ее действия.
Действительно: перенесем вектор силы вдоль линии ее действия из точки в точку 1. Тогда 1 = ̅+
1 = 1 × = (̅+ ) × = ̅× + × = ̅× Так как , то есть 1 = .
3. Преобразование момента силы при переносе полюса Перенесем полюс из точки О в точку С.
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
− |
× |
||
= (̅− ) × = ̅× − × = |
|
||||||||||
Таким образом, момента |
силы при переносе |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
полюса определяется |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
− |
× |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, , … , |
|
||||||
Главный вектор и главный момент системы сил |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Определение. , , , … , |
|
|
|
системы |
векторов |
|
|
|
|
с |
||||||||||||
Рассмотрим совокупность сил (закрепленных векторов) |
|
|
1 2 3 |
|
||||||||||||||||||
радиус векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Главным вектором |
|
|
|
|
|
|
|
|
, , , … , |
|||||||||||
называется их сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
=1 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
Главным моментом |
|
|
системы |
векторов |
|
, |
, , … , |
называется |
||||||||||||||
вектор |
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( × ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главный вектор |
|
и главный момент |
|
содержат главную информацию о |
||||||||||||||||||
системе сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При переносе полюса из точки О в точку С главный вектор не меняется. |
||||||||||||||||||||||
Главный момент меняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= ( − ) |
× = ( × ) − × |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
1 |
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
= − × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Классификация случаев приведения сил.
|
= 0 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
Возможны 4 случая приведения |
||||||||
1. |
нулю |
. и |
̅ |
, такая система сил называется системой эквивалентной |
||||
|
= 0 |
≠ 0 |
|
|
= |
|
||
|
моменти |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Согласно (6) для любого центра приведения главный |
|||||
2. |
не̅меняется. |
|
|
. В этом случае говорят, что система сил |
||||
|
|
|
|
|
|
моменту или паре сил. |
||
|
сводится к главному 1 |
̅ |
||||||
3
На рисунке приведен пример такой пары сил. Вдоль двух
параллельных |
прямых |
действуют |
̅ |
две равные |
по |
модулю и |
||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||
противоположно направленные силы. |
|
|
≠ 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
равен |
|
|
|
= 0 |
. При |
этом |
существует |
||
3. Главный |
вектор не |
= 0 |
|
= ∙ |
|
|
||||||
множество точек, для которых |
|
|
|
|
. В этом случае говорят, что |
|||||||
система |
сил |
сводится к |
главному вектору. Этот случай мы |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
рассмотрим подробнее ниже.
Условия, при которых система сил сводится к главному вектору.
|
Необходимо установить условия, при которых главный момент |
|||||||||||||||
обращается в нуль 1 |
. Из (6) имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||
или |
|
|
|
= 0 |
1 |
|
|
̅ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= − × = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= × |
|
|
(7) |
|||||
, , |
|
= ( , , ) |
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|||||
|
трех линейных уравнений |
|
(8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
= |
|
||||||||
|
Здесь |
|
|
радиус-вектор центра приведения. |
Относительно |
|||||||||||
|
|
получаем систему |
|
|
− = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− |
|
|
|||
|
Вычислим определитель |
системы (3). Неизвестными являются |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
− = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
0 |
|
|
= 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
0 |
|
|
|
||
Если главный определитель системы равен нулю, то для того чтобы система (8) имела решение, необходимо, чтобы обращался в нуль один из ее
вспомогательных определителей (Правило Крамера). |
|
, |
|
|
|
|||||||||||
Вычисляя |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть ≠ 0, что всегда можно сделать выбором системы координат. |
|
|||||||||||||||
|
|
= |
− 0 |
= + + |
= 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
приходим к условию |
|
|
|
|
̅ . |
|
|
|
|
и |
||||||
Таким образом система+ сил+приводится= ∙ к равнодействующей= 0 |
, если |
|||||||||||||||
|
̅ |
|||||||||||||||
взаимно ортогональны |
|
∙ = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||
Для нахождения геометрического̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
места точек центров приведения, |
||||||||||||||||
отбрасываем |
одно |
из |
уравнения |
системы |
(8) и |
рассмотрим оставшиеся. |
||||||||||
Например |
|
|
|
|
− = |
|
|
|
|
|
(10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение |
|
|
= 0 |
|
- геометрическое место точек, для |
|||||||||||
центральной прямой |
||||||||||||||||
|
|
− = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
которых выполняется условие |
̅ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Примеры систем сил, допускающих приведение к равнодействующей 1. система сходящихся сил
|
∙ = 0 |
|
Поместим начало координат в точку приложения сил. Главный вектор |
||
системы равен нулю, т.к. все силы проходят через точку О. |
|
̅ . |
5 |
|
|
2.Плоская система векторов.
Пусть все силы лежат в плоскости |
Oyz. |
Тогда векторы |
, |
и |
̅ |
|||||||
|
|
|
||||||||||
записываются в виде |
= (0, , ), |
= ( |
, 0,0), |
̅= (0, |
, ) |
̅ |
|
|||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
||||||
≠ 0 |
. В системе (8) |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
два последних уравнения обращаются в |
||||||||
тождества, а уравнение центральной прямой имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сил. |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
3. Система параллельных − |
|
|
|
|
|
|
||||||
, , 0 |
≠ 0 |
|
, |
|
|
|
= (0,0, ) |
|
= |
|
Пусть |
. |
Векторы |
|
|
записывается в |
виде |
|
, |
|
|
. Третье |
уравнение (8) |
обращается в тождество, первые два имеют |
||||||||
̅ |
|
6− = |
|
|
|
̅ |
||||
вид |
|
= , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
∑ |
Центральная прямая |
= |
∑ , |
= − = − |
∑ |
= |
Пример. Распределенная по линейному закону нагрузка.
|
|
|
|
|
|
|
= |
0( ) = |
= |
||||
0( ) = |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
0( ) = |
2 |
= 2 |
|||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
= |
= 3 |
|
|
|
Теорема Вариньона
Если система сил сводится к равнодействующей, то главный момент системы сил относительно какой-либо точки равен моменту равнодействующей относительно этой же точки.
Действительно≠ 0 :
Пусть , и существует= 0 множество точек, для которых главный
момент равен нулю 1 . Используя̅ формулу (6)
1 = − × = 0
7
откуда следует |
= × |
||
|
|||
|
̅ |
|
. |
8