ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА Лекция 1
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 1999 г. - 592с.
http://pnu.edu.ru/media/filer_public/2013/04/10/2- 12_fedosev_sopromat_1999.pdf
2. Окопный Ю.А., Радин В.П., Чирков В.П. Механика материалов и конструкций. М.: Машиностроение, 1-е изд. 2001. 408 с., 2-е изд. 2002. 436 с.
3.Окопный Ю.А., Радин В.П., Хроматов В.Е., Чирков В.П.
Механика материалов и конструкций: Сборник задач. М.: Машиностроение,
2004. 414 с.
4.Ицкович Г.М., Минин Л.С. Винокуров А.И., Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. М.: Высшая школа, 1999. 592 с.
Механические системы со связями |
1, 2, … , |
|
||
радиус-векторами |
1, 2, … , |
. |
|
|
Рассмотрим |
систему материальных точек массой |
|
и |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1
На каждую точку действуют :
1
|
|
- внешние силы, главные |
векторы этих сил обозначены на рисунке |
||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, обусловленные взаимодействием |
|||||||
|
, |
внутренние силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
,-… , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
масс. Внутренние силы подчиняются III закону Ньютона |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
21 |
|
13 |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
, , |
|
, , … |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
В дальнейшем внешние силы |
будем обозначать |
( ), внутренние силы |
|||||||||||||
( ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальные уравнения движения свободной системы |
|||||||||||||||
материальных точек |
|
|
2 |
|
|
|
+ |
( ) |
( j=1,2,3,...,N) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нас больше интересуют несвободные системы, т.е. системы на координаты (или скорости) которых наложены ограничения. Эти ограничения называются связями.
Например, связь двух материальных точек при помощи абсолютно жесткого стержня
Уравнение связи имеет вид |
|
|
) |
|
+ ( |
− |
) |
|
= |
|
|
||||
В общем виде( |
− ) |
2 |
+ ( − |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||||
где - число |
( , , … , |
) = 0 |
( = 1,2,3, … , ) |
|
|||||||||||
|
уравнения геометрических связей записываются в виде |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
связей наложенных на систему. В курсе Теоретической механики вводится Аксиома об освобождении от связей
Всякое несвободное твердое тело можно освободить от связей, заменив действие связей их реакциями и рассматривая его как свободное, находящееся под действием проложенных к нему активных сил и реакций связи.
2
Так, например, силы внутренние силы 12, 21 , показанные на рис. 1, можно рассматривать как, реакции от связи в виде жесткого стержня соединяющего массы 1 2.
Другой пример.
Число степеней свободы механической системы
Числом степеней свободы механической системы называется число независимых параметров, которые однозначно описывают положение системы в любой момент времени.
Так материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Достаточно задать две координаты x и y, чтобы определить ее положение. Система из N свободных материальных точек имеет 2N степеней свободы.
Теперь рассмотрим несвободную систему на которую наложены S связей. Каждая связь, наложенная на механическую систему, уменьшает число степеней свободы на единицу. Каждое уравнение из системы (1) позволяет выразить одну координату системы через остальные.
Рассмотрим систему N материальных точек на плоскости и наложим на нее S связей. Получаем формулу = −
3
Для системы, изображенной на левом рисунке |
|
. |
|
На правом |
. Отсюда следует, что твердое |
тело на |
|
|
|
= 2 ∙ 3 −4 = 2 |
|
= 2 ∙ 3 −3 = 3
плоскости имеет три степени свободы. = 3 − Для системы материальных точек в пространстве имеем . Система из N твердых тел в плоскости= − имеет
степеней свободы.
На рисунке = 3 ∙ 2 −5 = 1.
Для абсолютно твердого тела в пространстве выделим 4 точки и соединим их 6 связями в виде твердых стержней.
4
Для данной системы |
|
. Поскольку положение |
полученного тетраэдра однозначно определяет |
положение твердого тела, |
|
|
= 4 ∙3 −6 = 6 |
|
число= 6 его− степеней свободы равно 6. Для системы N твердых тел имеем
.
В заключение отметим, что полученные в этом разделе формулы не универсальны и могут давать не верный результат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Момент силы относительно оси |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проведем |
||
Рассмотрим силу |
|
|
и некоторую ось . Через точку |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= + |
|
|
|
представим |
в виде |
|||||
плоскость |
|
перпендикулярно |
оси . Вектор силы |
|
|
|
|
|
||||||||
суммы двух векторов |
|
|
. |
|
|
. Из точки О опустим |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Длину этого перпендикуляра обозначим |
, |
модуль |
||||||||
направление вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вектора |
|
обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5
Определение. |
Моментом |
силы |
|
относительно |
оси |
|
|
называется |
|||||||||
произведение модуля вектора |
|
(проекции |
силы на плоскость |
|
) на длину |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оси |
|
с плоскостью |
|
||||
перпендикуляра h, опущенного из точки пересечения |
|
Ω |
|||||||||||||||
на направление оси силы |
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
Ω |
|
||||
Знак момента |
|
|
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
определяется с учетом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
выбранной системы |
координат. |
|||||||||||||||
Если, глядя со стороны положительного направления вектора |
|
, |
сила |
|
|||||||||||||
создает вращение против часовой стрелки, момент положителен. |
|
|
|
||||||||||||||
Таким образом момент силы относительно оси это псевдоскаляр.
Свойства момента силы относительно оси |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
Момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на оси |
||||||||||||||||
2. |
Момент. |
силы относительно оси не меняется при переносе силы |
|
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
вдоль линии ее действия. Момент силы относительно оси - |
||||||||||||||||
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
||
|
скользящий вектор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
сила |
|
= 0 |
|
|
( |
); б) линия |
||||
|
|
|
если а) |
|
параллельна оси |
|
|
||||||||||
|
действия силы |
|
пересекает ось ( |
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||
Выпишем=выражения̅+ ̅+ для моментов, , силы относительно координатных осей. Пусть , где - проекции на оси координат,
,̅,̅ , ,
единичные орты, – координаты точки приложения силы.
6
|
|
|
= − |
(2) |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
= − |
|
7