Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Кафедра Атомных электрических станций

Устюхина И.В., Никонов С.М., Зорин В.М.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Некоторые методы решения оптимизационных задач

Москва, 2016

УДК

621.311.25:621.039

С

Утверждено учебным управлением НИУ «МЭИ»

в качестве учебного пособия для студентов

Подготовлено на кафедре атомных электрических станций

Рецензенты: д-р техн. наук, доц. Парфенов Ю.В.,

канд. техн. наук Брус Н.А.

Устюхина И.В., Никонов С.М., Зорин В.М.

Некоторые методы решения оптимизационных задач: учебное пособие / Устюхина И.В., Никонов С.М., Зорин В.М. Общ. ред. Зорин В. М. – М.: Издательский дом МЭИ, 2016. – 78 с.

ISBN 978-5-383-00088-5

В учебном пособии рассматриваются постановки некоторых инженерных оптимизационных задач, сформулированных в форме задач математического программирования или динамической оптимизации.

Излагаются математические методы оптимизации, которые могут быть рекомендованы при решении сформулированных инженерных задач. Применение методов иллюстрируется модельными примерами, указываются особенности практической реализации.

Пособие предназначено в первую очередь для студентов, обучающихся по профилю «Атомные электростанции и установки» направления 14.04.01 «Ядерная энергетика и теплофизика».

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 5

1. Постановка задач оптимизации 7

1.1. Задача математического программирования 7

1.2. Особенности задач ядерной энергетики. 8

1.4. Пример постановки оптимизационной задачи в общем виде 12

1.5. Многоразмерная сложная оптимизационная задача 16

1.6. Простая оптимизационная задача 20

1.7. Возможный порядок решения задачи оптимизации параметров ТЭУ 23

1.8. Задача динамической оптимизации 24

1.9. Современная методология оптимизации развития производств ЯТЭК 26

1.10. Контрольные вопросы к разделу 1 30

2. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 31

2.1. Безусловный экстремум 31

2.2. Условный экстремум 32

2.3. Контрольные вопросы к разделу 2 36

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ 36

3.1. Основные понятия 36

3.2. Метод градиента 39

3.3. Метод наискорейшего спуска 46

3.4. Метод покоординатного спуска 51

3.5. Метод поиска по образцу (или метод Хука-Дживса) 55

3.6. Метод поиска по симплексу или S²- метод. 58

3.7. Контрольные вопросы к разделу 3 64

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 64

4.1. Общая характеристика методов 64

4.2. Модификации алгоритмов безусловной минимизации 66

4.3. Методы штрафных функций 68

4.3.1. Метод внутренних штрафных функций 68

4.3.2. Метод внешних штрафных функций. 69

4.4. Методы перебора вариантов 71

4.4.1. Перебор на равномерной сетке 71

4.4.2. Метод случайного поиска 71

4.5. Контрольные вопросы к разделу 4 73

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 74

Введение

В настоящее время разработано большое количество методов решения оптимизационных задач [1]. Тем не менее эта область математики (математическое программирование) продолжает интенсивно развиваться в соответствии с запросами практики, ставящей в повестку дня необходимость решения все более сложных задач. К таким задачам относятся задачи конструирования нового оборудования, задачи разработки технологических схем, оптимизация режимов работы электростанций, энергосистем, разработка планов развития ядерной энергетики или других компонент топливно-энергетического комплекса отрасли и т.д.

Оптимизация - это процесс выбора наилучшего варианта из возможных или приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Такие задачи решаются в любой сфере деятельности человека: в научных исследованиях, проектировании, планировании, управлении и т.д. В постановке этих задач есть некоторые общие черты: необходимо определить параметры, которые однозначно определяют тот или иной вариант, то или иное состояние системы (оптимизируемые параметры); необходимо определить круг «возможных» вариантов (т.е. наложить ограничения на оптимизируемые параметры); наконец, необходимо определить критерий (целевую функцию) установления «наилучшего» варианта.

После того как задача поставлена, возникает вопрос, как организовать «процесс выбора», т.е. какой математический метод оптимизации применить. Ответить на этот вопрос может помочь вид целевой функции, известный опыт решения аналогичных задач, в том числе и в других областях науки и техники. Нередко ответ может быть получен лишь в результате «проб и ошибок». Чтобы уменьшить количество этих «проб», специалист, решающий задачу, должен в деталях владеть объектом исследования, хорошо ориентироваться в методах оптимизации, знать возможности технических средств и программного обеспечения ЭВМ, на которой будет реализован процесс вычислений. Иными словами, специалист должен стремиться к высокой степени умения, мастерству, которое достигается в ходе его практической деятельности.

Будущие специалисты по атомным электростанциям и установкам начинают изучение методов оптимизации в курсе "Математические методы моделирования физических процессов" и затем продолжают их освоение, слушая лекции и выполняя задания на практических занятиях и выдаваемые для самостоятельного выполнения при изучении дисциплины "Методы решения инженерных задач" на IV курсе. В дальнейшем математические методы оптимизации могут использоваться студентами при выполнении курсовых проектов, выпускных и научно-исследовательских работ.

Основной особенностью данного учебного пособия является его направленность на подготовку специалистов для атомных электростанций. Для этого приводятся постановки реальных оптимизационных задач; рассмотрение в пособии математических методов оптимизации подкреплено примерами в терминах специальности с пояснением их особенностей; уделено внимание практическому применению методов для решения задач специальности. Подчеркивается, что в постановке таких задач, как правило, присутствует математическая модель – совокупность параметров и математических отношений (уравнений, параметров, логических условий), описывающих техническое устройство или процессы в нем протекающие в полном соответствии с поставленными задачами перед проводимыми расчетными исследованиями.

Решение многоразмерной системы уравнений математической модели – это одна из трудностей оптимизации параметров технического устройства, которая диктует необходимость применения рассчитываемых вариантов, то есть повышение эффективности математических методов оптимизации. При этом трудности возрастают, если ограничения накладываются на рассчитываемые по математической модели параметры.

В первой части учебного пособия приведены постановки реальных инженерных задач. При изучении математических методов оптимизации студенты имеют возможность обращаться к этим постановкам, оценивать количество и особенности оптимизируемых параметров, сложности в расчете значений целевой функции или ее производных, намечать решение этих задач с помощью того или иного метода.

Кроме основных авторов в подготовке материалов пособия принял участие доктор техн. наук А.В.Клименко; им написан параграф, посвященный современной идеологии оптимизации технических объектов, с помощью которого студенты смогут познакомиться с постановкой задач развития атомной энергетики, получить представления о сложных взаимосвязях предприятий отрасли.