УрМатФиз / Программа по Матфизике
.pdfÓÄÊ ????
Программа по матфизике
ЛЕКЦИИ
Лекция 1
Задача Коши для дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. (2 часа)
Лекция 2
Приведение к каноническому виду линейного уравнения в частных производных второго порядка. (2 часа)
Лекция 3
Задача Коши для УЧП второго порядка гиперболического типа в слуае одного переменного. Формула Коши-Даламбера . (2 часа)
Лекция 4
Задача Коши для волнового уравнения в случае трех и двух переменных, Формулы Кирхгофа, Пуассона. (2 часа)
Лекция 5,6
Cмешанная задача для волнового уравнения на отрезке. Метод Фурье разделения переменных. Собственные функции и их свойства.
Тепрема единственности и существования решения смешанной задачи для колебания струны на отрезке.Интеграл энергии. (4 часа)
Лекция 7,8
Одномерное уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности на отрезке. Принцип максимума.
Теорема единственности решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.(4 часа)
Лекция 9,10
Гладкость решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности на
Уравнение |
Q |
отрезке в области |
δ = [δ, T ] × [x1, x2] |
Лапласа. Постановка краевых задач.Формулы Грина. Фундаментальное решение. (4 часа)
Лекция 11
Гармонические функции и их свойства. Функция Грина и ее построение. Решение внутренних задач Дирихле, Ньютона. (2 часа)
Лекция 12,13
Решение задачи Дирихле для полупространства. Задача Неймана для уравнения Лапласа и ее решение.
Условие разрешимости. Задачи Дирихле для круга, формула Пуассона. (4 часа)
Лекция 14
Внешние задачи Для уравнения Лапласа. Теоремы единственности.(2 часа)
Лекция 15
2
Уравнение Бесселя и его фундаменталбная система решений.Ортогогальность функций Бесселя.(2 часа)
Лекция 16,17
Решение смешанной задачи для уравнения колебания мембраны и уравнения теплопроводности для цилиндрических областей.(4 часа)
СЕМИНАРЫ
Cеминар 1
Задача Коши для дифференциального уравнения с частными производными первого порядка.
1.x∂u∂x + (y + x2)∂u∂y = u, u|x=2 = y − 4 |
|
|||
2.x∂u∂x |
yz ∂u |
= 0, u z=1 = xy |
(1) |
|
∂S |
− |
∂S∂z |
| |
|
3 . ∂t |
+ ( |
∂x )2 = 0, S|t=0 = −x2/2 |
|
|
Cеминар 2
Приведение к каноническому виду линейного уравнения в частных производных второго порядка.
1.Найти характеристики уравнения
2 |
2 |
|
∂∂xu2 − y2 ∂∂yu2 = 0, |
|
|
проходящие через |
|
|
a)точку(1, 2) |
|
|
b)точку(1, 0) |
|
|
2.Определить тип уравнения |
(2) |
|
2∂2u2 |
+ ∂2u = 0, |
|
∂x |
∂xy |
|
a).Найти характеристики уравнения b).Найти общее решение.
3.Найти общее решение.
x2 ∂∂x2u2 − y2 ∂∂y2u2 − 2y ∂u∂y = 0
Cеминар 3
Контрольная работа 1 Приведение к каноническому виду линейного уравнения в частных производных второго порядка.
Cеминар 4
Задача Коши для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Формула Коши-Даламбера. Графическая иллюстрация колебания струны при различных начальных условиях.
1.utt = uxx, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = 0 |
|
2.utt = uxx, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = ψ(x) |
(3) |
3.uxx + 6uxy + 5uyy = 0, u(x − y = 0) = ϕ(x), u(5x − y = 0) = ψ(x) |
|
Cеминар 5
ПРОГРАММА ПО МАТФИЗИКЕ |
3 |
Колебания полуограниченной струны при закрепленном конце, свободном конце, при движении свободного конца по заданному закону u(0, t) = h(t), ux(0, t) = h(t)
1.utt = uxx, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = 0, u(0, t) = 0, 0 < x < +∞
2.utt = uxx, u(x, 0) = ϕ(x), ut(0, t) = 0, ux(0, t) = 0, 0 < x < +∞ (4)
3.utt = uxx, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = 0, u(0, t) = h(t)
Cеминар 6
Контрольная работа 2 Решение задач для колебания струны методом характерсик.
Cеминар 7
Метод Фурье. Колебание ограниченной струны на отрезке при различных краевых условиях.
1.ut = uxx, u(x, 0) = x, u(0, t) = 0, ux(1, t) = 0 |
|
2.ut = uxx, u(x, 0) = x2 − x, u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 |
(5) |
3.ut = uxx, u(x, 0) = x, u(x, 0) = 0, ux(1, t) + u(1, t) = 0, |
|
Cеминар 8
Решить задачу для уравнения Лапласа внутри круга 0 < ρ < R, 0 < ϕ < 2π
|
|
a)u|ϱ=R = 2sin2(ϕ) + 4cos3(ϕ) |
|
|
||||||
|
|
b)∂u∂ρ uϱ=R = 4sin3(ρ) |
|
|
|
(6) |
||||
|
|
c)∂u∂ρ + u|ϱ=R = sin(ϕ) + cos(4ϕ) |
|
|
||||||
Решить задачу для уравнения Лапласа вне круга 0ρ > R, 0 < ϕ < 2π |
||||||||||
|
|
|
a)u|ϱ=R = 8cos4(ϕ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b)∂u∂ρ uϱ=R = sin(ϕ) + 4sin3(ρ) |
(7) |
||||||
|
|
|
c)∂u∂ρ − u|ϱ=R = 1 + cos(2ϕ) |
|
|
|
|
|||
Cеминар 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить задачу для уравнения Лапласа в прямоугольнике |
0 < x < a, 0 < |
|||||||||
y < b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a)u x=0 = ∂u∂x |
= 0, u y=0 = 0, u y=b = sin( |
5πx |
) |
|||||||
2a |
||||||||||
b) |
∂u| |
= |
∂ux=a |
| |
|
| |
|
|
(8) |
|
∂x |
∂x |
= 0, u y=0 = 1, u y=b = 2 |
||||||||
c) |
∂u x=0 |
= |
∂u x=a |
= 0, ∂u| |
= |
∂u | |
= 1 |
|
|
|
|
∂x x=0 |
|
∂x x=a |
∂y y=0 |
|
∂y y=b |
|
|
|
|
Cеминар 10
Контрольная работа 3 Решение краевых задач для уравнения Лаплпса.
Cеминар 11,12
1.ut = a2uxx, u|x=0 = ux=l = 0, ut=0 = x(l − x)
2.ut = uxx, u|x=0 = 1, ux=2 = 13, ut=0 = x3 + x. Найти предел lim(u(x, t))при t → ∞ 3.ut = uxx, ux|x=0 = ux|x=2 = 3, ut=0 = x3 − 3x2 + 3x Найти предел
lim(u(x, t))ïðè t → ∞
(9)
4
Cеминар 13
Контрольная работа 4 Решение краевых задач для уравнения теплопроводности.
Cеминар 14,15
Функции Бесселя и простейшие их свойства. ФСР уравнения Бесселя. Функция Неймана. Ортогональносòь функций Бесселя.
p p
Показать, что J1/2(x) = (πx2 sin(x), N1/2(x) = (πx2 cox(x).
Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса R, если на- чальная температура шара равна T0, а на поверхности шара задан постоянный тепловой поток q0.
ut = a2∆u, 0 < ρ < R, t > 0 |
(10) |
u|t=0 = T0, λ∂u∂ρ |ρ=R = q0 |
Cеминар 16,17
Найти распределение температуры в однородном круговом бесконечном прямом цилиндре радиуса R, на поверхности которого задан постоянный тепловой
поток q0. Начальная температура равна нулю.
ut = a2 u, u|t=0 = 0, ∂u∂ρ = q0 |
(11) |
Литература
1. А.Н.Тихонов., А.А.Самарский. Уравнения математической физики.-М: Наука 2000
2.В.П.Пикулин, С.И.Похожаев. Практический курс по уравнениям математической физики.-М:Наука,1995.