Мат.стат. и теория вероятностей / Экзамен / Ответы на вопросы теорвер

1) Вопрос:

События: достоверные и случайные, совместные и несовместные. Пространство элементарных событий. Полная группа событий. Аксиомы Колмогорова и следствия из них. Классическое определение вероятности события.

Ответ:

Событие - некоторый факт, который фиксируется в ходе некоторого комплекса условий эксперимента.

Достоверное событие - событие, которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий эксперимента.

Случайное событие - событие, которое может наступить в рамках реализации данного комплекса условий эксперимента, но не является достоверным.

Два события A и B называют совместными в данном эксперименте, если наступление одного из них не исключает появление другого.

Два события A и B называют несовместными в данном эксперименте, если наступление одного из них исключает появление другого.

Пространство элементарных событий (ПЭС) - все возможные элементарные несовместные события (исходы) данного эксперимента.

Полная группа событий - несовместные события, составляющие ПЭС и объединенные по некоторому признаку.

Пусть любое событие A в некотором эксперименте есть подмножество, формируемое из пространства (множества) элементарных событий данного эксперимента. Вероятность события A - мера возможности наступления события в эксперименте, оцениваемая с использованием специальной числовой функции - P(A).

Функция P(A) удовлетворяет трем аксиомам Колмогорова А.Н. :

1. P(Ω) = 1.

2. P(А) ≥ 0.

3. Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Следствие 1: 0 ≤ Р(А) ≤ 1

Следствие 2: Р(пустого множества) = 0

Следствие 3: Р(А) + Р(А сопряженное) = 1

2) Вопрос:

Условные события. Зависимые и независимые события. Произведение и сумма событий. Теоремы о вероятности суммы и произведения двух и n событий.

Ответ:

Условное событие – событие, конечный результат которого будет подтвержден только при наступлении или не наступлении одного или нескольких событий в будущем.

Событие A называется независимым от события В, если выполняется условие: Р(А/В) = Р(А/В сопряженное) = Р(А).

Событие B называется независимым от события A, если выполняется условие: Р(В/А) = Р(В/А сопряженное) = Р(В).

Если события A и B являются независимыми, то формула приобретает вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = Р(В)Р(А)

Если события A и B являются зависимыми, то формула приобретает вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В)

Вероятность суммы n событий:

Вероятность произведения n событий:

3) Вопрос:

Априорные вероятности гипотез. Формула полной вероятности. Апостериорные вероятности гипотез. Формула Байеса.

Ответ:

Пусть реализации события A в некотором пространстве событий Ω соответствует некоторая площадь - S(А), ограниченная окружностью. Кроме того известно, что событию A в некотором эксперименте предшествует одно из событий H(i), ( i=n...1), составляющих полную группу событий. Н(i) - гипотезы, Р(Н(i)) - априорная вероятность гипотез. Тогда формула полной вероятности:

Р(Н(i)) - априорная вероятность гипотез.

Формула Байеса:

Р(Н(i)/А) - апостериорная оценка гипотез

4) Вопрос:

Независимые испытания и схема Бернулли. Формула Пуассона, простейший поток событий.

Ответ:

Формула Бернулли:

Формула Пуассона:

Простейший поток событий:

5) Вопрос:

Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения, функция распределения, плотность вероятности. Свойства данных функций.

Ответ:

Случайной называется такая величина, которая в результате опыта (эксперимента) может принять то или иное значение, при чем заранее неизвестно какое именно.

Случайные величины (СВ) классифицируют по следующим позициям:

1. Дискретные.

2. Непрерывные.

3. Смешанные.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют величину, возможные значения которой принимают конечное или бесконечное, но счетное число значений.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый диапазон возможных значений.

Под законом распределения СВ понимают всякое соотношение, устанавливающее взаимосвязь между возможными значениями (диапазонами значений) СВ и вероятностями их реализации. Основными законами распределения СВ являются:

1. Ряд распределения.

2. Функция распределения.

3. Функция плотности вероятности.

Ряд распределения:

Функция распределения:

Плотность вероятности: