Мат.стат. и теория вероятностей / Экзамен / Зад для студентов ТВ
.pdf
1
Типовые задачи по теории вероятностей и элементам математической статистики для студентов групп ТФ-9-15-20 для подготовки к зимнему экзамену 2021-22 гг
Задача 1. В коробке находится 10 транзисторов, из которых 3 бракованные. Эксперт может визуально (без приборов) правильно определить не бракованный транзистор с вероятностью 0,9 и правильно определить бракованный транзистор с вероятностью 0,8 . Первый наугад извлеченный из коробки транзистор эксперт признал бракованным. Найти вероятность того, что он не бракованный.
Задача 2. Найти вероятность отказа электрической схемы см. рис 1. на промежутке времени , если вероятности безотказной работы ее элементов на том же промежутке времени равны:
p1 0,5, |
p2 0,6 , |
p3 0,7 , |
p4 0,8 , |
p5 0,5 . |
Указание: Отказы элементов считать независимыми событиями.
1 |
3 |
|
|
4 |
5 |
2
Рис.1.
Задача 3. В помещении имеется 9 ламп накаливания. Каждая лампа независимо от других в течении 12 месяцев эксплуатации перегорает с вероятностью 0.7. Какова вероятность, что в данном помещении в течении 12 месяцев эксплуатации перегорит более 7 ламп.
Задача 4. Электронный почтовый ящик предприятия за 10-часовой рабочий день принимает в среднем 3 сообщения, по которым руководитель предприятия должен немедленно отдать соответствующие распоряжения своим сотрудникам для проведения каких-либо действий. Найти вероятность того, что за время отсутствия секретаря предприятия, принимающего такие сообщения, на рабочем месте в течение 2 часов, поступит хотя бы одно срочное сообщение.
2
Задача 5. Некоторое техническое устройство имеет по паспорту средний срок работы до момента отказа 5000 часов. Найти вероятность того, что данное устройство проработает более 7000 часов, полагая, что распределение времени работы данного устройства показательное.
Задача 6. На некотором предприятии производят электромоторы с математическим ожиданием веса mx 25кг и средним квадратическим
отклонением веса x 50 г. Найти вероятность того, что некоторые электромоторы данного предприятия будут иметь вес более 25,1кг, полагая распределение веса нормальным.
Задача 7. Для освещения помещений некоторой организации используется 1300 электрических лампочек. На некотором периоде T эксплуатации любая лампочка может перегореть с вероятностью p 0, 2. Найти вероятность
того, что на данном периоде эксплуатации T в данной организации перегорит более 270 лампочек.
Задача 8. Найти коэффициент корреляции системы двух случайных величин, заданной совместным рядом распределения.
|
|
|
Y |
|
|
|
5 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0,1 |
0,07 |
0,03 |
|
|
|
|
|
X |
4 |
0,06 |
0,3 |
0,04 |
|
6 |
0,08 |
0,12 |
0,2 |
|
|
|
|
|
Задача 9. Дана выборка объема n 15 из нормальной генеральной совокупности см. таблицу 1. Найти доверительный интервал для генерального математического ожидания. Указание: генеральная дисперсия -
Dx 1; a) |
доверительная вероятность - |
p 0,95; б) |
доверительная |
||||||||
вероятность - |
p 0,98. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. |
|
|
|
8,77 |
7,67 |
10,62 |
9,54 |
9,62 |
10,24 |
9,32 |
|
8,18 |
|
|
|
8,05 |
9,44 |
8,61 |
9,61 |
8,51 |
8,74 |
8,66 |
|
|
|
3
Задача 10. Дана выборка объема n 15 из нормальной генеральной совокупности см. таблицу 1. Найти доверительный интервал для генерального математического ожидания. Указание: генеральная дисперсия неизвестна; a) доверительная вероятность - p 0,95; б) доверительная вероятность - p 0,98.
Задача 11. Группированный ряд относительных частот некоторого признака Z представлен в таблице:
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
0; 0,2 |
|
|
0,2; 0,4 |
|
|
0,4; 0,6 |
|
|
|
0,4; 0,8 |
|
|
0,8; 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
pi* |
|
25/ 90 |
|
14 / 90 |
|
16 / 90 |
|
|
|
16 / 90 |
|
19 / 90 |
|
|
||||||
На уровне значимости |
|
0,05 |
с использованием критерия хи-квадрат |
||||||||||||||||||
проверить гипотезу |
о |
согласии |
данного |
эмпирического |
распределения с |
||||||||||||||||
равномерным распределением на отрезке Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0,1 |
. Объем выборки n 90. |
|||||||||||||||||||
Задача 12. Группированный ряд относительных частот некоторого признака Z представлен в таблице:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zi |
|
3; 2 |
|
2; 1 |
|
1; 0 |
|
0;1 |
1; 2 |
|
|
2; 3 |
|
|
p* |
|
2 / 90 |
|
14 / 90 |
|
24 / 90 |
|
31/ 90 |
16 / 90 |
|
3/ 90 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На уровне значимости |
0,05 с использованием критерия хи-квадрат |
|||||||||||||
проверить гипотезу о |
согласии |
данного эмпирического |
распределения с |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
табличным |
нормальным распределением: |
Z N 0,1 . |
Объем выборки |
|||||||||||
n 90. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Группированный ряд относительных частот некоторого признака Z представлен в таблице:
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
0; 500 |
|
|
500; 1000 |
|
1000; 1500 |
|
1500; 2000 |
|
|
2000; 2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
pi* |
|
36 / 100 |
25 / 100 |
|
|
19 / 100 |
|
15 / 100 |
|
5 / 100 |
|
|
||||
На уровне значимости |
0,05 с использованием критерия хи-квадрат |
|||||||||||||||
проверить гипотезу о согласии данного эмпирического распределения с
показательным распределением - f (z) 0,001e 0,001z . Объем выборки
n 100.