Мат.стат. и теория вероятностей / Практики / Предельные теоремы в схеме Бернулли

Занятие № 4

Предельные теоремы в схеме Бернулли: теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Лапласа.

На самом деле нас будут интересовать не сами теоремы, а следствия из них, позволяющие упростить вычисления вероятностей в схеме Бернулли. Это касается ситуаций, когда число испытаний достаточно велико: порядка десятков, сотен, тысяч.… В этих случаях формулы для подсчета вероятностей можно заменить приближенными (аппроксимационными) выражениями, для которых существуют подробные таблицы.

1°. Вероятности редких событий (формула Пуассона).

Характеристика: 0 < р ≪ 1, достаточно велико, конечная величина. Тогда, ∀

Пример 1.1 По каналу связи передается сообщение из символов. Вероятность искажения каждого символа . Вычислить вероятность того, что искажений будет не более 6-ти.

Решение. Имеем , достаточно велико, . Тогда,

Пример 1.2 Вероятность того, что изделие при транспортировке с завода повредится равна 0,0005. С завода отправили 4000 изделий. Какова вероятность, что в пути повредятся больше 2 – х изделий?

Решение. Повреждение каждого отдельного изделия можно считать независимым исходом опыта в последовательности из 4000 испытаний, с вероятностью «успеха» 0,0005 в каждом отдельном испытании. Поэтому вероятность события можно вычислить по формуле

Мы видим, что практически такой подсчет невозможен. Поэтому, гораздо проще обратиться к вычислениям через противоположное событие. А именно,

И здесь для подсчета проще воспользоваться формулой Пуассона при

Если воспользоваться непосредственно формулой Бернулли, то с учетом того, что , получим

Вычисления, как видно, тоже не из приятных. ∎

2°. Локальная формула Муавра – Лапласа.

Характеристика: , и достаточно велики так, что величина

Иначе говоря, и не должны «сильно» отличаться друг от друга. Тогда,

Эта формула тем точнее, чем больше . Для функции имеются подробные таблицы при значениях . Она табулирована не хуже, чем тригонометрические или логарифмические функции. Если , можно воспользоваться теми же таблицами, т. к. .

Пример 2.1 Найти вероятность того, что исход осуществится ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность его появления в одном испытании равна 0,25.

Решение. Итак, требуется найти вероятность , если Поскольку 243 – число «достаточно большое», то воспользуемся формулой Муавра – Лапласа. Произведем необходимые вычисления:

Следовательно,

По таблице находим, что . Следовательно, искомая вероятность

Пример 2.2 Несимметричный игральный кубик, у которого вероятность выпадения 6 при одном подбрасывании равна 0,6 решили подбросить 2400 раз. Найти вероятность того, что 6 при этом выпадет ровно 1400 раз.

Решение. Так как велико, то воспользуемся формулой Муавра – Лапласа:

Так как функция четная, то

Следовательно,

Пример 2.3 Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 75 раз.

Решение. Снова воспользуемся формулой Муавра – Лапласа:

Так как функция четная, то

Следовательно,

3°. Интегральная формула Муавра – Лапласа.

Характеристика: , и достаточно велики так, что величина

В таком случае

где

и

При этом нечетность, , если . Имеются подробные таблицы значений функции Лапласа.

Замечание. Иногда за функцию Лапласа принимают функцию

и таблицу составляют для неё. При этом, конечно, ясно, что . Однако надо, пользуясь этой таблицей, иметь в виду, что

Пример 3.1 Симметричную монету подбросили 1600 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет а) не более 750 раз; б) более 750, но менее 800 раз; в) более 800 раз.

Решение. а) Здесь лучше решать так тогда

Тогда, . Следовательно, .

б) В этом случае имеем

Следовательно,

в) Здесь . ∎

Пример 3.2 Вероятность появления некоторого события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Какое наименьшее количество испытаний нужно произвести, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Решение. По условию, . Требуется определить возможно меньшее значение . Поскольку ясно, что должно быть достаточно велико, то для вычислений воспользуемся формулой Муавра – Лапласа:

Далее, ясно, что Функция возрастающая и, следовательно, Поэтому, не будет существенной ошибкой, принять . Значит,

Теперь по таблице находим, что

Поэтому, можно принять

Отклонение относительной частоты появления события от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Вероятность осуществления события А в независимых испытаниях ровно раз вычисляется по формуле Бернулли или, приближенно, по локальной формуле Лапласа. Относительной частотой появления события А в независимых испытаниях называется величина . Величину отклонения этой частоты от при больших значениях можно оценить по формуле

где

Пример 3.3 Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности в каждом испытании не более, чем на 0,04.

Решение. Итак, в нашем случае Вычисляем величину

Таким образом,

Что означает этот результат? Неравенство

То есть событие, о котором идет речь с большой вероятностью произойдет больше 475 раз, но меньше 525 раз. ∎

Д/З Формула Пуассона

Задача (о рождении ребенка) Предполагая рождение ребенка в любой из 365 дней в году равновозможным, найти вероятность того, что в группе из 200 человек ровно трое родились 1 апреля. Ответ: ≈0,0159. (Указание. Принять 200 за число независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании.)

Локальная формула Муавра – Лапласа

Задача (о рождении мальчиков) Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных ровно половина будут мальчики. Ответ: 0,0782.

Задача (о бросании монеты) Симметричную монету подбросили 10 000 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпал ровно 5000 раз. Ответ: 0,005642.

Интегральная формула Муавра – Лапласа

Задача 1. Вероятность появления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз. Ответ: а) 0,8882; б) 0,8944; в) 0,1056.

Задача 2. Вероятность появления некоторого события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности в каждом испытании не более, чем на 0,02. Ответ: 0,7698.

КОНЕЦ ЗАНЯТИЯ № 4

7