Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л9-ТВ
.pdf1
ЛЕКЦИЯ №9
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
1. Закон больших чисел
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для различных исходных данных устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным величинам.
Под центральной предельной теоремой в теории вероятностей понимают теорему, устанавливающую условия приближения распределения вероятностей суммы большого числа случайных величин к нормальному распределению.
Под предельными теоремами теории вероятностей понимают различные формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы.
Доказательство основных форм закона больших чисел основано на использовании неравенства Чебышева П.Л.
2. Неравенство Чебышева
Чебышев Пафнутий Львович 1821-1894 – русский математик.
Рассмотрим случайную величину X с математическим ожиданием mx
и дисперсией Dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого сколь угодно малого положительного числа |
вероятность |
||||||||
того, что величина |
X отклонится от своего математического ожидания на |
||||||||
величину больше |
ограничена сверху величиной D / 2 |
, то есть: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
P |
|
X mx |
|
|
Dx |
. |
|
(1) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данное неравенство получило название неравенства Чебышева.
Доказательство (на примере дискретной случайной величины):
Пусть дискретная случайная величина X задана рядом распределения:
xi |
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
… |
xn 1 |
|
xn |
p xi |
p x1 |
|
p x2 |
|
p x3 |
|
… |
p xn 1 |
|
p xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
X mx |
|
P x mx , mx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x m |
, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
x m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С другой стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
D X |
xi mx 2 p xi |
|
xi mx |
|
2 p xi . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
D X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p xi |
|
xi mx |
|
2 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
m |
, |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как |
X mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
D X |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
p xi |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
m |
, |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
p xi |
2 P |
|
X mx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Откуда следует |
|
|
|
|
|
|
xi mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
X mx |
|
|
|
Dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данное неравенство получило название оценки отклонения от математического ожидания сверху.
Перейдя к противоположному событию можно получить оценку снизу.
P X mx 1 D2x .
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
3
Неравенство справедливо для случайных величин, распределенных по любому закону распределения f (x) ( p(x)), для которого выполняются свойства функции плотности вероятности (ряда распределения).
В частности, пусть 1 x , 2 |
|
|
2 x , 3 |
|
|
3 x тогда: |
|
||||||||||||||
P |
|
X mx |
|
|
x 1; |
|
|
(2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P |
|
|
|
X mx |
|
|
|
|
2 x |
1 |
; |
(3) |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P |
|
|
|
X mx |
|
|
3 x |
|
1 |
. |
(4) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Соответственно, |
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
P |
|
X mx |
|
|
x 0; |
|
|
(5) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
P |
|
X mx |
|
|
2 x |
3 |
; |
(6) |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P |
|
X mx |
|
|
3 x |
|
8 |
. |
(7) |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
3. Теорема Чебышева
Рассмотрим случайную величину X с математическим ожиданием mx и дисперсией Dx . Пусть проводится n независимых одинаковых опытов, в результате которых фиксируется:
X1- значение случайной величины X в первом опыте;
X 2 - значение случайной величины X во втором опыте;
X3 - значение случайной величины X в третьем опыте;
…………………………………………………………….
X n - значение случайной величины X в n -ом опыте.
|
|
1 |
n |
Пусть |
Y |
|
X i - среднее арифметическое случайных величин |
|
|||
|
|
n i 1 |
X i . Тогда числовыми характеристиками данных опытов являются:
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
n |
1 |
|
|
|
my |
M Y M |
|
Xi |
|
|
mx |
|
nmx |
mx , |
(8) |
|
|
|
n |
|||||||||
|
n i 1 |
|
|
n i 1 |
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
4
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
D |
|
||||||||||
Dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D Xi |
|
|
|
nDx |
|
|
x |
. |
(9) |
||||||||||||||||
|
n |
2 |
|
n |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||
Теорема Чебышева. |
|
|
|
При достаточно большом числе независимых |
||||||||||||||||||||||||||||||||
опытов среднее арифметическое |
|
|
|
случайных |
величин |
X i сходится по |
||||||||||||||||||||||||||||||
вероятности к математическому ожиданию случайной величины X - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
X m |
|
|
|
1 . |
|
|
|
(8.10) |
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Неравенство выполняется для любых сколь угодно малых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положительных величин и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим к величине Y |
|
|
|
|
X i неравенство Чебышева: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy |
D |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Y my |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем такое n , чтобы выполнялось |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Y my |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Перейдя к противоположному событию, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P |
|
|
|
|
|
|
X i mx |
|
|
|
|
1 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. Обобщенная теорема Чебышева |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть проводится n независимых опытов, в результате которых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фиксируется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 - значение случайной величины X1 в первом опыте; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 - значение случайной величины X 2 |
во втором опыте; |
x3 - значение случайной величины X 3 в третьем опыте;
…………………………………………………………….
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
|
|
|
5 |
|
|
xn - значение случайной величины X n в n -ом опыте. |
|
||||
Где X i - независимые случайные величины с математическими |
|
||||
ожиданиями mxi и дисперсиями Dxi . |
|
|
|||
|
|
1 |
n |
|
|
Пусть |
Y |
|
X i - среднее арифметическое случайных величин |
||
|
|||||
|
|
n i 1 |
|
|
|
X i , а все дисперсии |
Dxi ограничены сверху: |
|
|||
|
|
|
Dxi L, |
i . |
(11) |
Обобщенная теорема Чебышева. При достаточно большом числе |
|||||
независимых |
опытов среднее арифметическое случайных величин |
X i |
сходится по вероятности к среднему арифметическому математических
ожиданий случайных величин X i |
- |
|
|
|
|
|||
|
1 n |
|
n |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|||
P |
|
|
X i |
|
mxi |
|
1 . |
(12) |
|
|
|||||||
|
|
n i 1 |
n i 1 |
|
|
|
Неравенство выполняется для любых сколь угодно малых положительных величин и .
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M Y M |
1 n |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
mxi |
, |
|
(13) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|||||||||
D Y |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
D |
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
Dxi . |
(14) |
||||||||||||
|
|
|
n |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применим к величине |
Y |
|
|
X i |
неравенство Чебышева: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxi |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P |
|
|
X i |
|
|
|
|
mxi |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
. |
(15) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
n i 1 |
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Неравенство усилится, если записать:
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
L |
|
|
|
||
P |
|
|
X i |
|
mxi |
|
|
|
|
. |
(16) |
|
|
n |
2 |
||||||||
|
|
n i 1 |
n i 1 |
|
|
|
|
|
Найдем такое n , чтобы выполнялось
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
6
L . n 2
Тогда
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||
P |
|
|
X i |
|
mxi |
|
. |
(17) |
|
|
|||||||
|
|
n i 1 |
n i 1 |
|
|
|
Перейдя к противоположному событию, получим
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||
P |
|
|
X i |
|
mxi |
|
1 . |
|
|
||||||
|
|
n i 1 |
n i 1 |
|
|
5. Теорема Маркова
Марков Андрей Андреевич 1856-1922 – русский математик.
Пусть проводится фиксируется:
x1 - значение случайной величины X1 в первом опыте; x2 - значение случайной величины X 2 во втором опыте; x3 - значение случайной величины X3 в третьем опыте;
…………………………………………………………….
xn - значение случайной величины X n в n -ом опыте.
Где X i - зависимые случайные величины с математическими ожиданиями mxi и дисперсиями Dxi .
|
|
1 |
n |
Пусть |
Y |
|
X i - среднее арифметическое случайных величин |
|
|||
|
|
n i 1 |
X i , и для n
то
для любых сколь
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
||
D Y D |
|
Xi |
|
|
|
|
D Xi |
0 |
(18) |
|||||||
|
n |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P |
|
|
X i |
|
mxi |
|
|
1 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n i 1 |
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угодно малых 0 и 0 .
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
7
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Kij . |
|
|
|
известно, что |
D Xi |
D Xi 2 |
|
|
|
||||||||
|
i 1 |
|
i `1 |
|
|
|
|
i j |
|
|
|
||
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
||
По условию |
D Y D |
|
|
Xi |
|
|
|
D Xi |
2 Kij |
0 |
|||
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
n i 1 |
|
|
n |
|
i 1 |
|
i j |
|
|
То есть, стремится к нулю и вся ковариационная часть D Y |
|
- игнорируется |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависимость случайных величин X i . Тогда, применяя неравенство |
||||||||||||||||
Чебышева, имеем |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
Y my |
|
|
Dy |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Переходя при достаточно большом n к неравенству |
|
|
||||||||||||
P |
|
Y my |
|
, получим далее |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
Y my |
|
1 . |
|
(19) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6. Следствия закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Пуассона
Теорема Бернулли. (следствие из теоремы Чебышева) Пусть
проводится n независимых одинаковых |
опытов, в каждом из которых |
||||
фиксируется случайная величина X i |
c рядом распределения: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
X i |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p(X i ) |
|
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
тогда при n |
относительная частота p* |
|
X i появления случайной |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
величины X i сходится по вероятности к вероятности |
p . В формализованном |
|||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
p p * |
|
1 , |
(20) |
||
|
|
|
для любых сколь угодно малых 0 и 0 .
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
8
Теорема Пуассона. (следствие из обобщенной теоремы Чебышева)
Пусть проводится n независимых |
опытов, в каждом из которых |
||||
фиксируется случайная величина X i |
c рядом распределения: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
X i |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p(X i ) |
|
pi |
qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
тогда при n относительная частота |
p* |
|
X i появления случайной |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
величины X i сходится по вероятности |
к вероятности |
p |
|
pi . В |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
формализованном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P |
|
|
|
p * |
|
1 , |
|
|
|
|
|||
|
p |
|
|
|
|
(8.21) |
для любых сколь угодно малых 0 и 0 .
7. Центральная предельная теорема (А.М. Ляпунов 1900 г.)
Ляпунов Александр Михайлович 1857-1918 – русский математик.
Теорема. Если X1, X 2 , X3 ,..., X n - независимые случайные величины, имеющие один закон распределения с параметрами:
mX1 mX2 mX3 ... mXn mx ; DX1 DX2 DX3 ... DXn Dx ,
то случайная величина
Z X1 X 2 X3 ... X n
при n имеет закон распределения асимптотически приближающийся к нормальному с параметрами:
mz nmx ; Dz nDx .
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
9
Следствие: |
Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из |
||||||||
которых фиксируется случайная величина |
X i |
c рядом распределения: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X i |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
p(X i ) |
|
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и числовыми характеристиками: |
|
|
|
|
|
|
|||
mX1 |
mX2 |
mX3 |
... mXn |
mx p ; |
(22) |
||||
DX1 |
DX2 |
DX3 |
... DXn |
Dx pq , |
(23) |
тогда случайная величина
Z X1 X 2 X3 ... X n
при n имеет закон распределения асимптотически приближающийся к нормальному с параметрами:
mz np ; |
(24) |
Dz npq . |
(25) |
Используя следствие из центральной предельной теоремы, получим две формулы для условий (22)-(25) применения нормального закона распределения:
|
mz |
P Z Ф |
z |
|
Ф mz
z
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
||
|
|
|
|
npq |
|
|
np , npq
(26)
Формула (26) получила название интегральной формулы МуавраЛапласа;
|
|
1 |
|
|
|
W mz 2 |
|
|
1 |
|
|
W mz 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2npq |
|
|
|
P Z W |
|
|
|
|
e |
2 z |
|
|
|
|
e |
, |
(27) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
2 |
|
2 npq |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула (27) получила |
название |
локальной |
формулы |
Муавра- |
Лапласа.
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)
10
Пример 8.1. Монетка подбрасывается 1000 раз. Пусть Z - число раз выпадений герба в данном эксперименте. Найти вероятности следующих событий: A) Z 500 ; B) 490 Z 510 .
Решение:
|
|
1 |
|
|
|
|
500 500 |
2 |
|
|
|||||
P Z 500 |
|
|
e |
500 |
0,025 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
510 500 |
|
|
|
490 500 |
|
|
|||||||||
P 490 Z 510 Ф |
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
0, 48. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
250 |
|
|
250 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)