Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Л8-ТВ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

461.05 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ №7-8

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

7.3. Функциональное преобразование непрерывной векторной случайной величины

Постановка задачи: Система непрерывных случайных величинX ,Y задана плотностью вероятности - f (x, y) , а непрерывная случайная

величина Z связана с X ,Y неслучайной зависимостью Z (X ,Y ) . Необходимо найти fz (z) .

Решение: Пусть cистема непрерывных случайных величин X ,Y задана ненулевой совместной плотностью вероятности - f (x, y) в области

DOxy , тогда:
Fz (z) P Z z P ( X ,Y ) z			f (x, y)dxdy ;	(7.6)
			( X ,Y ) z
f	z	(z) F / (z) .		(7.7)
	z	z

Пример 7.5. В круг радиуса R наудачу ставится точка. Описать закон распределения расстояния z от этой точки до центра круга.

Решение: полагаем, что исходный закон распределения координатX ,Y точки равномерный. То есть

f (x, y)

Тогда z

x2 y2

F (z)

dxdy

fz (z)

0 z R .

Проверка:

dz 1.

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

f (x, y)

fz (z) .

Пример 7.6. В круг радиуса R 1наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что расстояние от центра круга до точки будет менее 0,5.

Решение: Полагаем, что закон распределения расстояния от центра

круга до точки имеет вид				fz (z)		2z		, 0 z R . (см. пример 7.5).
круга до точки имеет вид				fz (z)		R2		, 0 z R . (см. пример 7.5).
						R2
Тогда
	0,5	2z	dz z2		0,5			1	.
P Z 0,5		2z						1
P Z 0,5		12					4
					0
					0
	0

7.4. Задача композиции Постановка задачи: Система непрерывных или дискретных

случайных величин X ,Y задана плотностью вероятности - f (x, y) , а

непрерывная или дискретная случайная величина Z связана с X ,Y неслучайной зависимостью Z X Y . Необходимо найти

Решение: Пусть cистема непрерывных случайных величин X ,Y задана ненулевой совместной плотностью вероятности - в области

DOxy , тогда:

Fz (z) P Z z P X Y z P X z Y P Y z X ;

(7.8)

z x

P Y z X

x, y dy dx .

(7.9)

z y

P X z Y

x, y dx dy .

(7.10)

z x

fz (z)

f x, y dy dx

f (x, z x)dx .

(7.11)

z y

(z)

f x, y dx dy

f (z y, y)dy .

(7.12)

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

Замечание: Обратить внимание на работу с пределами интегрирования в формуле свертки в процессе решения следующей задачи.

Пример 7.7. Пусть f	x	(x) e 1x ,	f	y	(x) e 2 y ,		0 ,	0 ;
	x	1		y	2	1	2

Z X Y . Найти fz (z) .

Решение:

Область интегрирования представлена на рис. 7.2.

Рис. 7.2.

f (x, y) 1e 1x 2e 2 y ;

fz (z) 1 2 z e 1xe 2 z x dx 1 2e z 2 z e x 1 2 dx ;

0		0
fz (z)	1 2	e 1z e 2 z .
fz (z)	2 1	e 1z e 2 z .
	2 1

Внимание: Случай 1 2 .

			z
fz	(z) lim	e z e

	0

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

		e z
fz	(z) lim
fz	(z) lim	1
	0	1

1 e	z
1 e
		z 2e z .

									1 1.
			Проверка:		z e z dz ze z dz				1 1.
					0			0
					0			0
	1
	0.8
	0.6
f1(x)
f2(x)
	0.4
	0.2
			0	2	4		6	8	10
							x
Рис.7.3.
			На графике рис. 7.3. представлены: красным цветом плотность
вероятности исходного закона f						x	(x) e x	e x , 1;	синим цветом –
						x
композиция двух исходных законов в виде								f (x y) f z ze z ;		1,
где	f	y	( y) e y	e y ,	1.
		y

Характерным для данного закона композиции является появление моды - точки максимума плотности вероятности.

Пример 7.8. В электрической цепи параллельно соединено две лампочки. Причем вторая лампочка находится в режиме холодного резерва - автоматически включается, если первая сгорела. Время работы до момента отказа первой лампочки - X (ч) показательное с параметром 1 1 / 200(1/ч).

Время работы до момента отказа второй лампочки - Y (ч) показательное с параметром 2 1 / 300 (1/ч). Найти вероятность того, что данная система из

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

двух лампочек проработает: A) более 200 час, Б) более 300 час, В) более 1000 часов.

Решение:

Известно, что

(x)

e200 ,

( y)

e300 .

200

300

Тогда

Z X Y

1 2

e 1z e 2 z

fz (z)

e300

e200

;

2 1

100

2 10

1.5 10

f ( z)

1 10

5 10

500

1 103

1.5 103

2 103

Рис. 7.4.

P Z 200

fz (z)dz

e300

e200

dz 0,804;

100

200

P Z 500

fz (z)dz

e300

e200

dz 0, 402 ;

100

500

P Z 1000

fz (z)dz

e300

e200

0,094 .

100

1000

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

Пример 7.9. Пусть fx (x) R a,b ,

f y ( у) R a,b ,

Z X Y .

Найти fz (z) .

Решение:

Исходные распределения равномерные на отрезке a,b , то есть плотность вероятности каждого распределения имеет вид:

Рис. 7.5.

Тогда совместная плотность распределения задается в области, имеющей форму квадрата см. рис 7.6.

Рис.7.6.

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

Тогда ненулевая совместная плотность распределения задается в виде:

f (x, y)	1			,	x a,b ,	y a,b

	b a		2
	b a
Учитывая, что		Z X Y и
							z x
Fz z P Z z P X Y z P Y z X								f x, y dy dx .

Для корректного вычисления данного двойного интеграла область интегрирования разобьем на части:

область: ( 0 z 2a ):

F1 z P Z 2a 0 ;

f1 z 0 .

область: ( 2a z a b ):

F2 z P

2a Z a b ;

F2 z

z x

dx dy

2az

;

(b a)

f2 z

z 2a

(b a)2

область: ( a b z 2b ):

F3 z P a b Z 2b ;

F3 z

3b2

dy dx 1

2bz

;

(b a)

z y

f3 z

z 2a

(b a)2

область: ( 2b z ):

F4 z P 2b Z 0 ;

f4 z 0.

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

Полученное распределение f z z представлено на рис. 7.7.

Рис.7.7.

Характерным для данного закона композиции является появление моды - точки максимума плотности вероятности.

Пример 7.10. Последовательно получают две реализации датчика чисел, равномерно распределенных на интервале 0,1 . Найти вероятность того, что сумма двух данных чисел будет более 1,5.

Решение:

	2			z2	2
	2			z2	2

P(Z 1,5)	1,5	2 z dz	2z	2	1,5	0,125 .
				2

Лекция 7-8. Функциональное преобразование СВ (Стаценко И.В.)

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.20241.06 Mб0Л5-матстат.pdf
#
16.05.2024400.2 Кб0Л5-ТВ.pdf
#
16.05.2024377.37 Кб0Л6-матстат.pdf
#
16.05.2024489.81 Кб0Л6-ТВ.pdf
#
16.05.2024383.6 Кб0Л7-ТВ.pdf
#
16.05.2024461.05 Кб0Л8-ТВ.pdf
#
16.05.2024462.8 Кб0Л9-ТВ.pdf