Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л7-ТВ

распределения -

px (x), а дискретная случайная величина

Y связана с X

неслучайной зависимостью Y ( X ) . Необходимо найти py ( y) .

Решение: Очевидно, что

yk

(xk )

и p yk p(xk ), но

если

присутствуют одинаковые

значения

yk то

вероятности реализации

таких

значений нужно вычислять, суммируя значения p(xk ) : (xk ) yk .

Пример

7.1.

Дискретная

случайная

величина

X задана

рядом

распределения - p(x):

x

1

0

1

2

px (x)

0,3

0,2

0,2

0,3

а дискретная

случайная

величина Y связана

с

X неслучайной

зависимостью Y X 2 . Необходимо найти p( y).

Решение:

y

1

0

4

py ( y)

0,5

0,2

0,3

my xk px xk ,

(7.1)

k

Dy ( xk my )2 px xk .

(7.2)

k

Для примера 7.1. математическое ожидание случайной величины Y

можно найти двумя способами:

my 1 2

0,3 02 0, 2 12 0, 2 22

0,3 1,7 ;

my

1 0,5 0 0, 2 4 0,3 1,7 .

Y

Fy ( y) P a X (Y )

fx (x)dx .

a

d

Y

y

x

x

f ( y)

f (x)dx f

( y)

y .

dy

a

y

F ( y) P(Y y) P

( X )

y

P

x X

b

P

(Y ) X b

.

y

b

x

(Y )

x

F ( y) P

(Y ) X b

f

(x)dx

f

(x)dx .

(Y )

b

d

Y

y

x

f ( y)

f (x)dx f

( y)

y .

dy

b

Заметим, что во втором случае

функция

Y ( X ) убывающая на

отрезке x a,b ,

поэтому

функция

X (Y )

также

убывающая на

соответствующем отрезке y c, d и

0.

(Y )

y

x

f

( y) f

( y)

y

.

(7.3)

k

F y

fx x dx, и

y ,

f y ( y) F

i 1 i x y

где i x y - i-ый участок

монотонности функции Y ( X ),

выраженный через переменную y , для

которого выполняется

условие: X y .

y

x

m

(x) f

x dx ,

(7.4)

y

y

x

)2

D

( (x) m

f

x dx .

(7.5)

Пример

7.2.

Случайная

величина

X имеет

показательное

распределение с параметром . Случайная величина

Y связана с X законом

Y X 2 . Найти f y y .

Решение:

Функция

Y X 2 на

участке

x 0, является

монотонной, поэтому:

1

e

1

f

( y)

e x

y

,

y 0, .

y

x

y

2

2

y

y

Проверка:

1

e y

dy

e t dt

1.

2

y

0

0

4

Пример 7.3. Случайная величина

X имеет равномерное распределение

Y связана с

X законом Y X 2 .

на отрезке

x 1,5 .

Случайная величина

Найти f y y .

Решение: Функция Y X 2 на участке x 1,5

является монотонной,

поэтому:

f

( y)

1

1

1

1

, y 1, 25

.

y

5

1

2 y

4

2 y

Проверка:

x

y

25

1

1

1 25

dy

4

dy

8 1

1.

1

2

y

y

Пример 7.4. Случайная величина X имеет нормальное распределение

с параметрами

mx ,

x .

Случайная

величина

Y связана с

X законом

Y X mx 2 . Найти

f y y .

Решение:

Функция

Y X mx 2 на

участке

x ,

не

является

монотонной,

поэтому

найдем

вначале

Fy y

двух

mx

mx y

mx y

X

0,

y 0;

x mx

2

x mx

2

mx

mx y

.

Fy y P Y y 1

e

2 2

dx

e

2 2

dx.

x

x

2

m

x

m

y

x

x

Тогда

0,

y 0;

d

2

2

f y y

1

mx

x mx

mx y

x mx

e

2

2

dx

e

2

2

dx.

dy

x

x

2

m

x

m

y

x

x

0,

y 0;

f y y

y

1

2

e 2 x

, y

0.