Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л6-ТВ

P(x, y) P( X x,Y

y) ,

(6.1)

где выражение P( X x,Y y) понимается

как вероятность

совместного

наступления событий: случайная величина

X приняла значение x и

случайная величина Y приняла значение y .

F (x, y) P( X x,Y y) .

(6.2)

4. 0 F ( , y) 1,

0 F (x, ) 1.

3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Плотностью

распределения

f (x, y) системы двух случайных

x, y к площади прямоугольника, то есть

f (x, y) lim

P(x X x x, y Y y y)

.

(6.3)

x 0

x y

y 0

Свойства плотности распределения f (x, y) :

1.

xy f (x, y) 0 .

2.

f (x, y)dxdy 1.

3.

P( X , Y ) f (x, y)dxdy , где , , , - константы.

2 F (x, y)

x

y

4.

f (x, y)

.

5.

f (x, y)dxdy .

x y

F (x, y)

n

m

Px (xi ) P(xi , y j ) ;

Py ( y j ) P(xi , y j ) .

(6.4)

j 1

i 1

Частные функции

распределения

Fx (x) , Fy ( y)

получают из

следующих выражений

Fx (x) F (x, ) ,

Fy ( y) F( , y) .

k 1

n

m

l 1

Fx (xk ) P(xi , y j ) ,

Fy ( yl ) P(xi , y j ) .

(6.5)

i 1 j 1

i 1 j 1

Для непрерывной случайной величины с известным рядом

распределения

x

y

Fx (x)

f (x, y)dy dx ,

Fy ( y)

f (x, y)dx dy .

(6.6)

Частные плотности распределения fx (x) , f y ( y) получают

по

формулам

fx (x)

f (x, y)dy ,

f y ( y)

f (x, y)dx .

(6.7)

5. Условные распределения в системе двух случайных величин

Распределение

случайных

величин,

рассматриваемое

в

Условные

ряды

распределения

P(x / y) ,

P( y / x) системы

дискретных случайных величин X ,Y определяются по формулам

P(x / y)

P(x, y)

,

P( y / x)

P(x, y)

.

(6.8)

Py ( y)

Px (x)

Условные

функции распределения

F (x / y),

F ( y / x)

системы

дискретных случайных величин X ,Y определяются по формулам

F (x / y)

F (x, y)

,

F ( y / x)

F (x, y)

.

(6.9)

Fx (x)

Fy ( y)

Условные

плотности распределения

f (x / y) ,

f ( y / x) системы

непрерывных случайных величин X ,Y определяются по формулам

f (x / y)

f (x, y)

,

f ( y / x)

f (x, y)

.

(6.10)

f y ( y)

fx (x)

4

P(x / y) Px (x) ,

F (x / y) Fx (x) ,

(6.11)

P( y / x) Py ( y) ,

F( y / x) Fy ( y) .

(6.12)

f (x / y) fx (x) ,

f ( y / x) f y ( y) .

(6.13)

Тогда P( X 1,Y 1) P(1,1)

2

1

1

;

6 5

15

P( X 1,Y 2) P(1, 2)

2 4 1

1

;

6 5 4

15

P( X 1,Y 3) P(1,3)

2 4 3 1

1

;

6 5 4 3

15

…

…

y1 1

y2 2

y3 3

y4 4

y5 5

x1 1

1/15

1/15

1/15

1/15

1/15

x2 2

1/15

1/15

1/15

1/15

0

x3 3

1/15

1/15

1/15

0

0

x4 4

1/15

1/15

0

0

0

x5 5

1/15

0

0

0

0

5

5

Отметим, что P(xi , y j ) 1.

i 1

j 1

2.

Частные ряды Px (x) , Py ( y) найдем по формулам

5

5

i Px (xi ) P(xi , y j ) ;

j Py ( y j ) P(xi , y j ) .

j 1

i 1

Ряды Px (x)

Py ( y) представлены в таблицах 6.2-6.3.

Таблица 6.2

xi

x1 1

x2 2

x3 3

x4 4

x5 5

Px (x)

5/15

4/15

3/15

2/15

1/15

Таблица 6.3

y j

y1 1

y2 2

y3 3

y4 4

y5 5

Py ( y)

5/15

4/15

3/15

2/15

1/15

3.

Функцию

распределения

F (x, y) найдем

из

условия

F (x, y) P( X x,Y y) по

формуле

суммирования

вероятностей

событий

удовлетворяющих

условию

( X xi ,Y y j ), то есть

k 1 l 1

Fx (xk , yl ) P(xi , y j ) см. таблицу 6.4.

i 1

j 1

Таблица 6.4

F( x, y )

y1 1

y2 2

y3 3

y4 4

y5 5

y6 6

x1 1

0

0

0

0

0

0

x2 2

0

1/15

2/15

3/15

4/15

5/15

x3

3

0

2/15

4/15

6/15

8/15

9/15

x4

4

0

3/15

6/15

9/15

11/15

12/15

x5

5

0

4/15

8/15

11/15

13/15

14/15

x6

6

0

5/15

9/15

12/15

14/15

15/15

k 1

5

Fx (xk ) P(xi , y j ) ,

k 1,2,3,4,5,6 ;

i 1

j 1

5

l 1

Fy ( yl ) P(xi , y j ) ,

l 1,2,3,4,5,6 .

i 1

j 1

Функции распределения Fx (x) , Fy ( y) представлены в таблицах 6.5-6.6

Таблица 6.5

xi

x1 1

x2 2

x3 3

x4 4

x5 5

x6 6

Fx ( x )

0

5/15

9/15

12/15

14/15

15/15

Таблица 6.6

y j

y1 1

y2 2

y3 3

y4 4

y5 5

y6 6

Fy ( y )

0

5/15

9/15

12/15

14/15

15/15

7

P(x / y)

P(x, y)

,

P( y / x)

P(x, y)

.

Py ( y)

Px (x)

x1 1

x2 2

x3 3

x4 4

x5 5

P( xi / y1

)

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5

P( xi / y2

)

1/4

1/4

1/4

1/4

0

P( xi / y3

)

1/3

1/3

1/3

0

0

P( xi / y4

)

1/2

1/2

0

0

0

P( xi / y5 )

1

0

0

0

0

y1 1

y2 2

y3 3

y4 4

y5 5

P( yi / x1

)

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5

P( yi / x2

)

1/4

1/4

1/4

1/4

0

P( yi / x3 )

1/3

1/3

1/3

0

0

P( yi / x4

)

1/2

1/2

0

0

0

P( yi / x5 )

1

0

0

0

0

рядом распределения Py ( y) .

Для сравнения представим в таблице первую

строку P( yi

/ x1 ) и закон Py ( y)

y1 1

y2 2

y3 3

y4 4

y5 5

Py ( y )

5/15

4/15

3/15

2/15

1/15

P( yi / x1 )

3/15

3/15

3/15

3/15

3/15

Если бы все значения

Py ( y) совпали со всеми соответствующими

значениями

P( y / x) можно было бы

говорить о

независимости величин

1 / 50,

x

5,10

и

y

10,20

;

f (x, y)

0,

x

5,10

.

или y

10,20

Определить функцию

распределения

данной

системы случайных

величин, частные и условные функции распределения в области определения

аргумента (x

5,10

и y

10, 20 )и установить зависимы или не зависимы

случайные величины X ,Y .

Решение:

x

y

1

1

x

y

1

x

F (x, y)

dxdy

dx dy

( y 10)dx

50

50

50

5 10

5

10

5

(x 5)( y 10)

;

50

F (x)

x 20 1

dxdy

x 5

;

x

50

5

5 10

F ( y)

10

y

1

dxdy

y 10

50

10

;

y

5 10

F (x / y)

(x 5)( y 10)

:

y 10

x 5

;

50

10

5

F ( y / x)

(x 5)( y 10)

:

x 5

y 10

.

50

5

10

Так как

F (x / y) F (x) и

F ( y / x) F ( y) полагаем, что случайные

величины X ,Y независимы.

Задача 6.3. На отрезок длины L 1 бросаются две точки X и Y . Так,

1

что X R

0,1 , а Y R

X ,1 , т е. 0

X Y 1. Найти

P( X Y ) , где

Решение:

Так как f (x) 1 / 1;

f ( y1 / x) 1 / (1 x) , то –

геометрически

область для совместной плотности f (x, y1 ) – треугольник,

ограниченный

сверху линией Y1 1 X .

При

чем

f (x, y1 ) const ,

так

как

f (x, y1 ) f (x) f y1

/ x 1

1

.

1

x

Тогда имеем:

1/2

x

1

1

1 x

1

P Y1

X

f (x, y1 )dxdy1

dx

1

dy1

dx

1

dy1

1 x

x

1

Doxy1

0

0

1/2

0

1/2

1 x

1

x

dx

dx ln 0,5 0,69.

0

1/2