Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л5-ТВ

1

ЛЕКЦИЯ №5

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В практических приложениях теории вероятностей широкое применение получили числовые характеристики законов распределения случайных величин, позволяющие в более простой форме оценивать наиболее вероятное значение случайной величины, ее среднее значение, а также степень рассеивания случайной величины относительно среднего значения. Наиболее распространенными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

1. Характеристики положения СВ на числовой оси

Математическое ожидание - является характеристикой положения случайной величины, то есть такой величиной, относительно которой группируются (рассеиваются) все возможные значения случайной величины.

Обозначение для математического ожидания случайной величины X

- M X или mx .

Математическое ожидание есть средневзвешенное значение случайной величины. При этом в качестве веса каждого значения дискретной случайной величины выступает вероятность данного значения p(x), а в качестве веса каждого значения непрерывной случайной величины выступает элемент вероятности f (x)dx .

Формула для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины имеет вид

Лекция 5 Числовые характеристики случайных величин

2

предписывает вычислить математическое ожидание случайной величины, стоящей в квадратных скобках. Для оператора математического ожидания справедливы следующие свойства:

Доказательство свойства 2: (на примере DСВ)

M c 1 c c .

Модой M 0 дискретной случайной величины называется ее значение, обладающее наибольшей вероятностью.

Модой M 0 непрерывной случайной величины называется ее значение, которое отвечает максимальной плотности распределения.

Медианой Me случайной величины называется такое ее значение,

относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.

F (Me ) 0,5.

Лекция 5 Числовые характеристики случайных величин

3

Символ D ... является правилом (оператором), которое предписывает

вычислить дисперсию случайной величины, стоящей в квадратных скобках. Для оператора дисперсии справедливы следующие свойства:

c2 M X M X 2 c2 D X .

Лекция 5 Числовые характеристики случайных величин

4

Доказательство свойства 2: (по определению дисперсии)

D c M c M c 2 M 0 0.

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины, в связи с чем не всегда бывает удобной в практическом применении. Поэтому в качестве характеристики рассеивания случайной величины также используют среднее квадратическое отклонение - положительный корень квадратный из дисперсии. Обозначение для среднего квадратического отклонения x ,

x Dx .

Если известно, что в результате некоторого эксперимента, произведенного n раз, случайная величина X приняла значения x1 , x2 , x3 …

xn и неизвестна вероятность реализации каждого из данных значений, можно определить следующие статистические (опытные) данные:

данном эксперименте (оценка математического ожидания случайной величины X );

данном эксперименте (оценка среднего квадратического отклонения случайной величины X ).

Необходимо знать, что величины x , Dx* и x* в отличие от mx , Dx , x

являются случайными, так как зависят от числа опытов n в данном эксперименте.

Лекция 5 Числовые характеристики случайных величин

5

Задача 5.1. В ящике находится 8 одинаковых деталей, одна из которых бракованная. Эксперт последовательно проверяет качество каждой детали. Определить математическое ожидание и характеристики разброса от среднего числа деталей, которые последовательно проверит эксперт до выявления бракованной. Полагать, что эксперт ошибок не совершает.

Решение:

Составляем ряд распределения случайной величины X - числа деталей, которые проверит эксперт, до выявления бракованной:

Определяем средневзвешенное значение - математическое ожидание случайной величины X

M X 0,125 (1 2 3 4 5 6 7 8) 4,5 .

Определяем характеристики рассеивания случайной величины X от среднего значения

D X 0,125 ((1 4,5)2 (2 4,5)2 (3 4,5)2 (4 4,5)2

(5 4,5)2 (6 4,5)2 (7 4,5)2 (8 4,5)2 5, 25.x Dx 5,25 2,29.

Задача 5.2. В любом из семи электрогенераторов теплоэлектростанции в результате проведения плановых обследований с вероятностью 0,3 могут быть обнаружены детали, требующие замены. Определить математическое ожидание и наиболее вероятное значение числа электрогенераторов, в которых будут обнаружены детали, требующие замены.

Решение:

Составляем ряд распределения случайной величины X - числа электрогенераторов, в которых могут быть обнаружены детали, требующие замены:

Лекция 5 Числовые характеристики случайных величин

7

Задача 5.4. Время работы некоторого технического устройства до момента отказа имеет показательное распределение. Известно, что среднее время работы (по паспорту) до момента отказа равно 3000 час. Найти медиану данного распределения.

Решение:

Откуда получим Me mx ln 2 3000 ln 2.

Задача 5.5. Доказать, что для показательного распределения

Лекция 5 Числовые характеристики случайных величин