Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л3-ТВ

1

ЛЕКЦИЯ №3

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ПУАССОНА.

1. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть реализации события A в некотором пространстве событий соответствует некоторая площадь - S A , ограниченная окружностью. Кроме того известно, что событию A в некотором эксперименте предшествует одно из событий Hi , ( i 1..n), составляющих полную группу событий, см. рис. 1.

Рис. 1.

Учитывая совместность событий A и Hi , можно записать следующее очевидное выражение:

С другой стороны

i 1

Формула (3) получила название формулы полной вероятности, а величины:

Стаценко И.В. Лекция 3

Пример 1. В ящике находятся 5 шаров, из которых 3 красных и два белых. Из ящика случайным образом извлекают один шар и, не фиксируя цвет, перекладывают в другой ящик. После чего из ящика извлекают еще один шар. Какова вероятность, что он красного цвета.

Решение: Формализуем гипотезы и события:

H1 - извлеченный первым по счету шар – красного цвета; H2 - извлеченный первым по счету шар – белого цвета;

A - извлеченный вторым по счету шар – красного цвета. Тогда

P( A) P H1 P A / H1 P H2 P A / H2 53 42 52 43 106 .

Пример 2. В ящике находятся 5 шаров, из которых 3 красных и два белых. Из ящика случайным образом извлекают один шар и, не фиксируя цвет, перекладывают в другой ящик. После чего из ящика извлекают еще один шар. Он оказался красного цвета. Какова вероятность того, что первым был извлечен шар красного цвета.

Решение: Формализуем гипотезы и события:

H1 - извлеченный первым по счету шар – красного цвета; H2 - извлеченный первым по счету шар – белого цвета; A - извлеченный вторым по счету шар – красного цвета.

Стаценко И.В. Лекция 3

3

2. Формула Бернулли

Рассмотрим эксперимент, в котором проводятся одинаковые независимые испытания ( n раз). В каждом испытании разыгрывается событие

A ( P( A) p , P( A) q ). При этом необходимо вычислить вероятность -

Pnm ( A) того, что в n испытаниях событие A произойдет ровно m раз

( m n ).

Дерево исходов эксперимента для случая n 1 представлено на рис. 2.

Рис.2.

Дерево исходов эксперимента для случая n 2 представлено на рис. 2.

Рис.3.

Стаценко И.В. Лекция 3

4

Дерево исходов эксперимента для случая n 3представлено на рис. 2.

Рис. 4.

Формулу (6) называют формулой Бернулли.

Стаценко И.В. Лекция 3

5

Пример 3. В ящике находятся 5 шаров, из которых 3 красных и два белых. Из ящика случайным образом извлекают один шар, фиксируют (записывают) цвет шарика. После чего шарик возвращают обратно. Найти вероятность того, что красный шарик в 10 испытаниях появится ровно 5 раз.

Решение:

Вероятность появления красного шарика в одном испытании равна p P( A) 3 / 5. Испытания одинаковые и независимые. Тогда

Пример 4. В ящике находятся 5 шаров, из которых 3 красных и два белых. Из ящика случайным образом извлекают один шар, фиксируют (записывают) цвет шарика. После чего шарик возвращают обратно. Найти вероятность того, что белый шарик в 10 испытаниях появится хотя бы один раз.

Решение:

Вероятность появления белого шарика в одном испытании равна q P( A) 2 / 5 . Испытания одинаковые и независимые. Тогда

3. Формула Пуассона

Рассмотрим эксперимент, в котором число одинаковых независимых испытаний по соображениям исследователя достаточно велико (полагаем, что

n ), а вероятность реализации события A в одном испытании достаточно мала ( p 0). Полагая далее, что величина pn a const ,

имеем, что

Формула (7) получила название формулы Пуассона.

Стаценко И.В. Лекция 3

6

Пример 5. В ящике находятся 10 шаров, из которых 9 красных и один белый. Из ящика случайным образом извлекают один шар, фиксируют (записывают) цвет шарика. После чего шарик возвращают обратно. Найти вероятность того, что белый шарик в 30 испытаниях появится ровно 3 раза. Решить задачу, используя формулу Бернулли и формулу Пуассона. Сравнить

результаты.

Решение: a 0.1 30 3

Пример 6. В ящике находятся 10 шаров, из которых 9 красных и один белый. Из ящика случайным образом извлекают один шар, фиксируют (записывают) цвет шарика. После чего шарик возвращают обратно. Найти вероятность того, что белый шарик в 60 испытаниях появится ровно 6 раз. Решить задачу, используя формулу Бернулли и формулу Пуассона. Сравнить

результаты.

Решение: a 0.1 60 6.

По формуле Бернулли P606 ( A) С606 0,9540,16 0,169.

Стаценко И.В. Лекция 3

7

4. Простейший поток событий

Рассмотрим следующую задачу.

Элементарные события некоторого пространства событий есть точки, расположенные вдоль оси Ox с соблюдением следующих правил:

1.Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок x1, x2 зависит только от длины отрезка, но не от его расположения на числовой оси.

2.Точки распределяются вдоль оси независимо друг от друга.

3.Вероятность попадания двух и более точек на бесконечно малый участок оси x пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на данный интервал ровно одной точки.

Необходимо найти вероятность p m того, что на отрезок длины L попадет ровно m точек.

Пусть - среднее число точек, приходящееся на единицу длины. АL a - среднее число точек, приходящееся на отрезок длины L . Тогда,

если отрезок x1, x2 длины

, то вероятность попадания точки на элементарный отрезок можно считать

независимость потока событий на любом отрезке, имеем:

Пример 7. На станцию скорой помощи некоторого города в ночное время с 2000 до 800 приходит в среднем 5 вызовов. Найти вероятность того, что с 24 00 до 500 поступит:

A) хотя бы один вызов.

B)ноль вызовов.

C)ровно один вызов.

Стаценко И.В. Лекция 3

8

Стаценко И.В. Лекция 3