Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л3-матстат

1. Общие принципы проверки гипотез

Статистической

гипотезой

называется

предположение

Случай 1

H0

:

0 ,

0

const ;

H1

:

1 ,

θ1

const;

1

0 .

Случай 2

H0

:

0 ,

0

const ;

H1

:

1 ,

θ1

const;

1

0 .

Случай 3

H0

:

0 ,

0

const ;

H1

:

0 .

В случае

принятия

гипотезы H0

альтернативная

гипотеза

H1 отклоняется. В случае

принятия

гипотезы

H1 основная

гипотеза

H 0 отклоняется.

0.4

f ( * / H0 )

0.3

f1(x)

0.2

0.1

*

0

2

* 0

2

4

*

6

G

л

0

п

G

x

Рис.3. Двусторонняя критическая область

На рис. 1. вероятность ошибки первого рода -

есть вероятность

попадания величины * в критическую область

G в случае истинности

нуль-гипотезы,

т.е. f0 * / Н0 d *,

соответственно, вероятность

г

ошибки второго рода -

есть вероятность непопадания величины * в

критическую область G в случае истинности

альтернативной гипотезы, т.е.

г

f1 * / Н1 d *.

На рис. 2. вероятность ошибки первого рода -

есть вероятность

попадания величины * в критическую область

G в случае истинности

г

f0 * / Н0 d *

нуль-гипотезы, т.е.

, соответственно, вероятность

ошибки второго рода -

есть вероятность непопадания величины * в

критическую область G в случае истинности

альтернативной гипотезы, т.е..

f1 * / Н1 d *.

г

На рис. 3. вероятность ошибки первого рода -

есть вероятность

попадания величины * в критическую область

G в случае истинности

л

нуль-гипотезы, т.е. f

* / Н0 d *

f * / Н0 d * .

п

Постановка задачи: Дана выборка объема n из нормальной

генеральной совокупности: x1, x2 , x3 ,..., xn . На уровне

значимости

принять (отклонить)

гипотезу

H0 : mx mx0 , против

альтернативы

H

1

: m m

x1

, если известна генеральная дисперсия 2 .

x

x

Решение:

Из

теории

вероятностей известно,

что величина

n

X mx

Z

,

где X Xi

/ n имеет нормальное распределение с

x

i 1

n

параметрами M Z 0; D Z 1 (табличное нормальное распределение).

X m

x0

m

m

P

z

1 , если

,

x

1

x0

x1

n

x

.

X m

z

(2)

x0

1

n

x

см. рис. 4.

X

г

m

z

x0

1

n

f1 (X / H1)

f0 ( X / H0 )

mx0

G

x X г mx1

области

X m

x0

1 , если m

m ,

P z

x

x1

x0

n

где z

квантиль уровня для стандартного (табличного)

нормального

z

X mx0

.

(3)

x

n

x

m

z

X .

(4)

x0

n

Учитывая, что для стандартного нормального распределения

z

z1 ,

условие (4) принимает вид:

x m

x

u

,

г

x0

n

1

где u1 - квантиль нормального распределения уровня 1 ,

mx0

10 .

Гипотеза H0 : mx 10 принимается, если xг

x ,

где x

n

/ n .

xi

i 1

Вероятность ошибки второго рода – забраковать гипотезу

H1 : mx

9 в

случае, если она верна, найдем по формуле:

x

m

x1

1 F

г

,

m

9 ,

x

x1

n

где F(...) - стандартная функция нормального распределения.

Тогда

x

10

1, 2

u

10

1, 2

1,65 9,398 .

г

9

0,95

3

Так как

x 9,889

xг

9,398,

то

гипотеза

H0 : mx 10

принимается.

9,398 9

1 F

1 F 1,09

1

0,86 0,14 ,

1, 2

3

где F(...) - стандартная функция нормального распределения.

Пример 3.2.

Дано: фабрика А разливает духи некоторой марки на

автоматической линии с параметрами веса флакона: A 0,1

г; mA 10 г.

Фабрика B разливает духи такой же марки на автоматической линии с

параметрами веса флакона: B 0,15 г;

mB 10,5 г. На флаконах данной

8

На уровне значимости

0,05

принять

(отклонить)

гипотезу о

принадлежности данной партии духов фабрике A.

Решение:

H0 : mx 10

против альтернативы - H1 : mx

10,5.

Критическая область правосторонняя, поэтому

x 10

0,1

u

10,052 ;

г

10 0,95

x 10,13.

Так как x xг

- нуль-гипотеза отклоняется.

Вероятность ошибки второго рода равна F 10,052 10,5

10

0 .

0,15

Постановка задачи: Дана выборка объема n из нормальной

генеральной совокупности:

x1, x2 , x3 ,..., xn .

На

уровне

значимости

принять

(отклонить)

гипотезу

H0 : mx

mx0 ,

против

альтернативы

H1 : mx mx1 .

Решение:

Из

теории

вероятностей

известно,

что

величина

n

n

X mx

1

2

T

n 1

,

где X

X

i

/ n ,

s

X

i

X

имеет

s

i 1

n 1 i 1

n

распределение Стюдента

c

n 1степенями

свободы

и

параметрами

n 3

M T

n

1 0;

D T

n

1

n

1

(табличное

распределение

X m

x0

m

m

P

t

n 1

1 , если

,

s

1

x0

x1

n

9

где t

n 1

квантиль уровня 1 и числа степеней свободы

n 1для

1

X mx0

1

s

t

n 1 .

(6)

s

.

X m

t

n 1

(7)

x0

1

n

Граничное

значение

* критической

области в

данном

случае -

г

s

X

m

t

n 1

.

г

x0

1

n

Условие принятия нуль-гипотезы для левосторонней критической

области

X m

x0

m

m

P t

n

1

1

, если

,

s

x1

x0