Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л2-ТВ

1

ЛЕКЦИЯ №2

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ

2.1. Геометрические вероятности, условные вероятности и вероятностная зависимость двух событий

Пусть реализации события A в некотором пространстве событий 1 соответствует некоторая площадь - S A , ограниченная окружностью.

бы произошло событие A достаточно случайного попадания в любую одну точку (не обязательно во все сразу) области, ограниченной окружностью.

Пусть далее реализации события В в пространстве событий 2 соответствует некоторая площадь - S B , ограниченная другой окружностью, при этом S B P B , S 2 1см. рис 2.1 a-b.

Пусть сперва реализуется событие A , а затем событие B . Можно полагать, что проводится два отдельных эксперимента, в каждом из которых свое пространство событий. События разных пространств всегда совместны, так как реализация одного события в пространстве 1 не исключает

реализации другого события в пространстве 2 .

Возможны две ситуации.

Ситуация 1. Наступление события A не изменяет вероятность - P B реализации события В в совместном пространстве событий (событие В вероятностно-независимо от события A ).

2

Ситуация 2. Наступление события A изменяет вероятность - P B реализации события В в совместном пространстве событий (событие В

эксперимента см. рис 2.2.a-b. На диаграммах в случае ситуации 2 должна изменяться площадь события В , но в любой ситуации имеется ненулевая по площади область пересечения событий. Размер данной области определяет вероятность произведения событий A и В - P( AB) S AB . Вероятность

суммы событий A и В равна сумме площадей трех непересекающихся фигур, т.е.

вероятность произведения событий AB . Если данные величины известны в ходе эксперимента, то можно вычислить вероятность - P( AB) .

3

Величину C1 P( AB) / P B называют вероятностью события A при условии, что произошло событие B и обозначают P( A/ B) .

Величину C2 P( AB) / P A называют вероятностью события B при условии, что произошло событие A и обозначают P(B / A) .

Событие A называется независимым от события В , если выполняется условие:

Если условие (2.5) не выполняется, то говорят, что имеет место вероятностная зависимость события A от того факта произошло или не произошло событие В .

Событие B называется независимым от события A , если выполняется условие:

Если условие (2.6) не выполняется, то говорят, что имеет место вероятностная зависимость события B от того факта произошло или не произошло событие A .

Пример 2.1. В ящике находятся 5 идентичных по размерам шаров, из которых 3 красных и 2 белых. Из ящика последовательно извлекают два шара. Пусть событие A - извлечение белого шара при первом извлечении, а событие B - извлечение белого шара при втором извлечении. Построить пространство

событий эксперимента. Найти вероятности событий: B / A , B / A , B / A , B / A .

Решение: Пространство событий эксперимента представлено на рис.

2.3.

4

Так как P B / A P B / A событие B является вероятностнозависимым от события A .

2.2. Вероятность суммы и произведения двух событий

В соответствии с (2.3) и (2.4) вероятность произведения событий A и B вычисляется по формуле

Пример 2.2. В ящике находятся 5 идентичных по размерам шаров, из которых 3 красных и 2 белых. Из ящика последовательно извлекают два шара. Пусть событие A - извлечение белого шара при первом извлечении, а событие B - извлечение белого шара при втором извлечении. Найти вероятности

P A B 1 P AB 107 ;

P B P A B P A P AB P AB P AB 104 .

2.3. Вероятность суммы и произведения трех событий

По аналогии с диаграммами рис. 2.2 a-b можно построить диаграмму, иллюстрирующую три совместных события A , B , C в пространстве см.

рис. 2.4.

Из анализа восьми несовместных событий, представленных на диаграмме, следует, что

B

A

C

P A B С P A P B P C P AB P AC P BC P ABC . (2.14)

…

…

Если события в данном эксперименте вероятностно-независимы формулы (2.17-2.27) приобретают более простой вид, например, для случая вероятностно-независимых событий А, В,С

Пример 2.3. В ящике находятся 7 идентичных по размерам шаров, из которых 3 красных и 4 белых. Из ящика последовательно извлекают три шара. Пусть событие A - извлечение белого шара при первом извлечении; событие B - извлечение белого шара при втором извлечении, а событие С - извлечение белого шара при третьем извлечении. Найти вероятности событий:

ABС ; С .

Решение:

P ABC P A P B / A P C / AB 74 63 53 356 .

P C P ABC P ABC P ABC P ABC

74 63 52 73 64 53 74 63 53 73 62 54 120210 74 .

2.4.Вероятность суммы и произведения n событий

По аналогии с формулами, полученными в разделах 2.2-2.3 можно получить формулы для вероятности произведения и суммы n событий

несовместных, зависимых и независимых событий.

Пример 2.4. В электрической цепи 10 лампочек находятся в последовательном