Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л2-матстат

Случайная

величина

X распределена

по

нормальному

(гауссовскому) закону с параметрами mx R ,

x R 0 ,

если плотность

вероятности распределения имеет вид:

1

x mx 2

2

f x

e

2 x

.

(1)

x

2

Определение 1. Если случайная величина

X распределена по нормальному

(гауссовскому) закону с параметрами

mx

0 ,

x

1,

то она называется

стандартной нормальной величиной. Обозначение X N

0,1 .

Функция распределения стандартной случайной величины имеет вид

1

x

t2

F x

e

2 dt .

(2)

2

0.4

f ( x)

0.3

0.2

0.1

4

3

2

1

0

1

2

3

4

x

F x 1 F x .

(4)

Для вычисления вероятности попадания случайной величины

X в

симметричный

относительно математического

ожидания

интервал

mx , mx справедлива формула:

P X mx P mx X mx

2F

1.

(5)

x

С использованием функции Лапласа вероятность (5) можно получить

также по формуле

P mx

X mx Ф

Ф

2Ф

.

(6)

x

x

x

Пример 2. Найти

x0,95 (квантиль

уровня 0,95) для нормального

распределения c параметрами mx

100,

x 30 ,

Решение:

x

m

F

0,95

x

F 0,95 ;

x

x

m

F

0,95

x

0 0,95;

x

Откуда получим x0,95

mx

F 1 0,95 x .

N mx , x , а x

1 n

генеральной совокупности

xi

выборочное среднее.

n i 1

2

x mx

Если генеральная дисперсия известна и равна x ,

то статистика

x

n

имеет нормальное распределение N

0,1 .

Доказательство.

По условию

x1, x2 , x3 ,..., xn

-

выборка

из нормальной

генеральной

1 n

совокупности. Тогда сумма любого числа независимых СВ x

xi , а по

n i 1

индукции и

x mx

имеет также нормальное распределение с параметрами

x

n

n x mx

n

x mx

n

M x mx 0 ;

M

M

x

x

x

n x mx

n

n

1

n

1

n

nD

D

D x

D

xi

D xi

x

1.

x

2

2

2

2

x

x

n i 1

n x

i 1

n x

Определение 3.

Распределением 2 k с k степенями свободы называется

распределение

случайной величины

2 k , равной

сумме

квадратов

k независимых нормально распределенных по закону

N

0,1

случайных

величин Ui , i 1, 2,.., n , т.е. распределение случайной величины

2 k U12 U22

U32 ... Un2 .

(7)

0

5

10

15

0

x

15

k

k

1

x

f

2 k (x)

0,52

x 2

e

2

,

(9)

k

Г

2

где

Г (z) t z 1e t dt ,

Re z 0 .

0

N mx , x ,

1

n

генеральной

совокупности

а

x

xi

и

n i 1

1

n

x 2 - соответственно выборочное среднее и выборочная

s2

xi

n 1 i 1

и S 2 - независимые случайные величины,

дисперсия. Тогда статистики

X

причем статистика n 1 S 2

имеет распределение 2

n 1 .

2

x

Свойство 1. Если 2 k1 и 2 k2 - независимые случайные величины, то

сумма этих случайных величин имеет распределение 2 k1

k2 , т.е.

2 k1 2 k2 2 k1 k2 .

Свойство

2.

Распределение

2 k

при

больших

значениях

k 30достаточно близко аппроксимируется нормальным распределением с

параметрами N k,

.

2k

k

k

P( 2 k ) Ф

Ф

.

(10)

2k

2k

Квантили распределения 2

р k

можно

найти с

использованием

таблиц см. Приложение 2. Для величин

k 30 квантили распределения

2

р k выразить через квантили нормального распределения по одной из

6

2

р k

1

up

2

2k 1

,

k 30,

p 0,5.

(11)

2

2

2

2

2

р k k 1

up

,

k 30,

p 0,5.

(12)

9k

9k

Пример 3. Найти 2

0,95 5 (квантиль уровня 0,95) для распределения хи-

квадрат с 5 степенями свободы.

Решение:

1

способ. Используем таблицу см. Приложение 2. 2

0,95 5 11,1.

2

способ. Используем функцию Маткад qchisq(0.95,5)=11.070498.

Определение 4.

Распределением Стьюдента называется распределение

случайной величины T k , равной отношению следующего вида

T k

U

,

(13)

2 k

k

U N

где случайная величина

0,1 .

M T

k

0 , D T

k

k

, k 2 .

k 2

График распределения для случаев k 3,

k 10, k 30 представлен

f1( x)

0.4

4

2

0

2

4

x

k 1

k 1

x2

2

Г

1

k

f (x)

2

,

(14)

k

Г

k

2

где

Г (z) t z 1e t dt ,

Re z 0 .

0

N mx , x ,

1

n

генеральной

совокупности

а

x

xi

и

n i 1

1

n

x 2 -

s2

xi

соответственно выборочное среднее и выборочная

n 1 i 1

дисперсия. Тогда

статистика

T

k 1

x mx

имеет распределение

s

1

1 2

u2p

2

t p k up

1

, k 30.

(15)

4k

2k

Пример 4. Найти t

0,95

10

(квантиль

уровня

0,95)

для распределения

Стьюдента с 10 степенями свободы.

Решение:

0,95

способ. Используем таблицу см. Приложение 3. t

1,812.

1

10

2

способ. Используем функцию Маткад

qt(0.95,10)=1.8124611.

3

способ. Используем функцию Excel СТЮДЕНТ.ОБР(0.95;10)=1.8124611.

Определение

5.

Распределением Фишера с k1 , k2

степенями

свободы

называется

распределение

случайной

величины

F k1, k2

равной

отношению двух независимых случайных величин 2 k1 / k1 и 2

k2 / k2

т.е.

F k1

, k2

2

k1

/ k1

.

(16)

2

k2

/ k2

F1 p k1, k2

1

.

(19)

Fp k1

, k2

0

1

2

3

4

5

x

1

n1

соответственно

по

выборкам

величинами

s12

xi x 2 ,

n

1 i 1

1

1

n2

2

/

2

2

xi

x

2

s1

1

s2

, то

статистика

имеет

распределение

2

2

n

1 i 1

s

2

/

2

2

1

2

Фишера F

n 1,n 1 .

Теорема 5.

Пусть x1 , x2 , x3 ,..., xn1 ,

x1 , x2 , x3 ,..., xn2 - выборки из

нормально

распределенных

генеральных

совокупностей

N m1, 1 ,

N m2 , 2 . Если

генеральные математические ожидания известны и равны

mx1

и

mx2 , а

дисперсии

генеральной

совокупности

оцениваются

1

n1

соответственно

по

выборкам

величинами

D1

xi mx1 2 ,

n1

i 1

1

n2

2

2

D2

xi mx 2

2

, то

статистика

s1

/ 1

имеет

распределение

2

2

n2 i 1

s2

/ 2

Фишера F n1, n2 .

Пример 5. Найти

F0,95 5,10

(квантиль

уровня

0,95) для

распределения

Фишера с 5,10 степенями свободы.

Решение:

1

способ. Используем таблицу см. Приложение 4.

F0,95 5,10 3,33 .

2

способ. Используем функцию Маткад

qF(0.95,5,10)=3.3258345.

3

способ. Используем функцию Excel F.ОБР(0.95;5;10)=3.3258345.

Доверительным интервалом для параметра называется интервал

1, 2 , содержащий, (накрывающий)

истинное значение параметра с

заданной вероятностью p 1 , т.е.

P 1 2 1 ,

(20)

где p 1 - доверительная вероятность,

- уровень значимости.

Статистики 1 1 x1, x2 , x3 ,..., xn ,

2 2 x1, x2 , x3 ,..., xn

- называют