Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л1-матстат

1

ЛЕКЦИЯ №1

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД В СТАТИСТИКЕ

Генеральное распределение. Выборка. Эмпирическая функция распределения. Вариационный ряд. Статистический ряд. Полигон и гистограмма. Выборочное распределение. Точечные оценки. Свойства точечных оценок.

1. Выборочный метод в статистике

Математическая статистика – прикладная наука, задачу которой составляет разработка методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений или экспериментов с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Математическая статистика позволяет получить обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними –

выборке.

Пусть случайная величина X наблюдается в случайном эксперименте E n раз, предполагая, что условия эксперимента, а следовательно, и распределение случайной величины X не изменяются от эксперимента к эксперименту. Этот новый составной эксперимент

каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и случайная величина X .

Закон распределения случайной величины X называется

распределением генеральной совокупности, а случайный векторX1 , X 2 , X 3 ,..., X j ,..., X n - выборочным вектором.

Числа x1 , x2 , x3 ,..., x j ,..., xn , получаемые на практике при n -

кратном повторении эксперимента E в неизменных условиях, представляют собой конкретную реализацию выборочного вектора и называются выборкой объема n .

2

Неравенство выполняется для любых сколь угодно малых положительных величин и .

На использовании теоремы Чебышева основан метод статистического

полученной с использованием датчиков случайных чисел для большого

реализация датчика случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне 0, 1

Вариационным рядом выборки x1 , x2 , x3 ,..., x j ,..., xn

называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т.е. записываются в порядке неубывания.

Размахом выборки называют разность между минимальным и

3

Статистическим рядом называется последовательность пар

z j , n j .

Пример 1. Записать в виде статистического и вариационного ряда выборку

1, 1, -2, 0, 0, 4, 5, 7, -3, 1, -1, 0, 0, 0, 3

Определить размах выборки.

Решение:

1.Вариационный ряд имеет вид

-3, -2, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 4, 5, 7.

2. Размах вариационного ряда (выборки) R 7 3 10.

3.Статистический ряд имеет вид

группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на k непересекающихся интервалов. Длина

интервалов выбирается по формуле: b Rk . После того как частичные

интервалы выбраны, определяют частоты - n j - количество элементов выборки, попавших в j -ый интервал (элемент, совпадающий с верхней (правой) границей интервала, относится к последующему интервалу).

4

В статистический ряд также добавляют накопленные частоты

Группировка выборки вносит погрешность в дальнейшие вычисления, которая растет с уменьшением числа интервалов.

Пример 2. Построить таблицу частот группированной выборки на 7 интервалах группирования для следующих исходных данных:

5

Эмпирической функцией распределения называется функция следующего вида

Для примера 2 эмпирическая функция распределения имеет вид см. рис.1.

6

Гистограммой частот (нормализованной гистограммой частот) группированной выборки называется кусочно-постоянная функция, постоянная на интервалах группировки и принимающая на каждом из

них значения nbj , где b - длина интервала группировки. В результате площадь ступенчатой фигуры равна объему выборки n .

Для примера 2 гистограмма частот имеет вид см. рис.2.

Рис. 2.

Гистограммой относительных частот (нормализованной гистограммой относительных частот) группированной выборки называется кусочно-постоянная функция, постоянная на интервалах

длина интервала группировки. В результате площадь ступенчатой фигуры равна 1.

Для примера 2 гистограмма относительных частот имеет вид см.

рис.3.

7

Рис. 3.

Примечание. Гистограммы называют не нормализованными (не нормированными), если при построении гистограмм принимается, что b 1.

Для примера 2 полигон частот имеет вид см. рис.4.

Рис. 4.

8

2. Числовые характеристики выборочного распределения. Точечные оценки генеральной совокупности.

Пусть x1 , x2 , x3 ,..., x j ,..., xn - выборка объема n из генеральной

совокупности с функцией распределения FX x . Рассмотрим выборочное распределение, т.е. распределение дискретной случайной величины, принимающей значения x1 , x2 , x3 ,..., x j ,..., xn с

вероятностями, равными 1n .

Числовые характеристики этого выборочного распределения называются выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками.

1. Выборочные начальные моменты для негруппированной выборки объема n определяются формулами

* 1 n xm , , m 1, 2, 3, 4,... (4)

m n j 1 j

2.Выборочные центральные моменты для негруппированной выборки объема n определяются формулами

4.Выборочная дисперсия (второй центральный момент):

Данные характеристики также называют точечными оценками параметров генеральной совокупности. К примеру, x - точечная

оценка математического ожидания - mx , а Dx* - точечная оценка генеральной дисперсии - x2 , где x* - выборочное среднее квадратическое отклонение.

9

Точечные оценки *называют несмещенными, если выполняется условие:

Пример 4. Доказать, что x - состоятельная оценка математического ожидания mx .

Доказательство:

дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Для

10

5. Несмещенная дисперсия определяется в виде

где s - несмещенное среднее квадратическое отклонение.

6. Выборочной модой M 0* унимодального (одновершинного)

распределения называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

7. Выборочной медианой M e* называется число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число

8.Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса

определяются формулами

Выбор третьего центрального момента с делением на *x 3 в

качестве характеристики асимметрии распределения выбран с учетом того обстоятельства, что все нечетные моменты для симметричного относительно центра распределения, совмещенного с осью x 0 , равны нулю. Третий центральный момент – первый нечетный после первого центрального момента по порядку позволяет оценивать величину несимметричности распределения.

Если a*x 0 правый хвост распределения длиннее левого.

Если a*x 0 левый хвост распределения длиннее правого.