Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

416.26 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 14. Применение формулы Стокса для сложных проективных областей. Потенциальное поле. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. Соленоидальное поле.

Лекция 14

Потенциальное и соленоидальное поле

1. Применение формулы Стокса для сложных проективных областей

Пример 1. Найти циркуляцию силового поля a yi xj zk вдоль линии L ,

образованной пересечением сферы x2 y2 z2 1 плоскостью z 1 x y . Нормаль внешняя. Обход контура против часовой стрелки см. рис. 7.

	1
		n 0
		Doxy
		Doxy
		1
		y
1
1

Рис.1.

Решение:
В качестве поверхности , “натянутой” на контур	L будем
рассматривать плоскость z 1 x y . Тогда

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

rot a M

0 0 i

0 j 1 1 k 2k 0,0, 2 ;

- y

-z

grad z

1 x y

n 0

;

cos

;

grad z

x y

Ц ydx xdy zdz						rot a ,n 0 d				2


L				:z 1 x y					3		:z 1 x y
		3	cos sin				3					2
			1 cos sin					cos sin
	4					4
	4					4

2 dxdy 2 d					d
									1 cos sin				2
													2
DOxy			0
DOxy	4		0			4

x2 y2 1 x y 2 1;

2x2 2 y2 2xy 2x 2 y 0; x2 y2 xy x y 0 ;

2 2 cos sin cos sin 0;

cos sin

1 cos sin . см.рис.8.

Из условия 0 найдем 0 4 ; 1 34 .

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

																	3
																			90
													120												60
											150																	30
					( )				180																			0
											210																	330
													240											300
																			270

																Рис.2.
3														3
4		1 2cos						sin				2		4			2 2cos				sin					1
												2	d														2	d
		1 cos sin															1 cos			sin
4		1 cos sin													4		1 cos			sin
	3												3
	4						1						4						1
2							1					d							1				d
2					1							d						1				2	d
					1													1	sin 2
		4	1		2	sin 2							4		1			2	sin 2
					2													2
4 3				8 3					4 3 .
	3				9					9
Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

2. Потенциальное поле

Определение 1. Векторное поле
a M P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,	(1)

заданное в области пространства Oxyz называется потенциальным, если существует функция (M ) x, y, z , такая, что во всех точках области выполняется равенство

a M grad M	(M )		(M )		(M )		.
		i		j		k		(2)
	x		y		z

Определение 2. Функция (M ) x, y, z , удовлетворяющая во всех точках области условию (2), называется потенциалом векторного поля (1).

Замечание 1. Потенциал векторного поля определяется неоднозначно с точностью до произвольной константы.

Пример 2.

Показать, что

потенциалом векторного поля

a M yzi

xzj xyk является функция вида x, y, z xyz C .

Решение:

grad

xyz C

k yzi

xzj xyk .

Определение 3. Область называется поверхностно-односвязной, если для любого замкнутого контура L , лежащего внутри , в данной области найдется поверхность , ограниченная контуром L .

Примерами поверхностно-односвязных областей являются шар, параллелепипед. Примером поверхностно-неодносвязной области является тор.

Теорема 1.

Пусть в поверхностно-односвязной области задано векторное поле

a M P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

Векторное поле имеет непрерывные компоненты и непрерывные первые частные производные компонентов.

Тогда, если векторное поле a M потенциально в области , т.е.

x, y, z : grad M a M , то

1.Векторное поле a M безвихревое в области , т.е.

rot a M 0 .

2. Линейный интеграл от векторного поля a M по любому замкнутому контуру L , находящемуся в , равен нулю

Ц a, dr 0 .

(3)

(4)

3.Линейный интеграл векторного поля a M по любому пути, соединяющему две точки области , не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точки интегрирования.

Доказательство по п.1.

rot grad

0i 0 j 0k .

z y

y z

z x

x z

y x

x y

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

Доказательство по п.2.

Ц a, dr rot a , n 0 d 0 .

Доказательство по п.3.

Так как Ц a, dr 0 , то

		a, dr		a, dr				a, dr 0 ,
		L	M 0M1			M1M 0
где M0 , M1 - любые две точки, лежащие в области ,
а M0 , M1	- траектория обхода некоторого контура L в положительном
направлении в области от точки M 0					к точке M1 ;
M1, M0	-	траектория	обхода некоторого контура L в положительном
направлении	в области от точки M1				к точке M 0 .
Тогда
			a, dr				a , dr ,
		M 0M1				M1M 0
			a, dr				a, dr .
		M 0M1			M 0M1
Так как M0 , M1		- траектория обхода некоторого контура L в положительном
направлении	в области от точки M 0					к точке M1 , то интеграл				a, dr
									M 0M1

зависит только от выбора начальной и конечной точки траектории интегрирования.

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

3.Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле

Пусть в некоторой точке M x, y, z области пространства Oxyz
задано потенциальное поле a M P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .
В данной точке M x, y, z введем вспомогательную функцию вида
M	a , dr .	(5)

M 0M

Покажем, что данная функция является потенциалом векторного поля

a M .

Найдем величину

как

lim

x x, y, z x, y, z

lim

x 0

Тогда

a, dr

a , dr

a , dr ;

M 0M1

M0M

MM1

a, dr

Pdx Qdy Rdz

P x x, y, z dx ;

MM1

Таким образом

P x x, y, z dx P x x, y, z dx ,

MM1

так как приращение берется по оси Ox и dy 0 ; dz 0.

Применяя теорему о среднем для интеграла P x x, y, z dx , получим, что

				0
	x
	P x x, y, z dx P			, y, z x ,		0, x .
	0
Тогда	lim	x lim			P , y, z x		P x, y, z	.
Тогда	lim	x lim					P x, y, z	.
	x 0	x	x 0		x

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

По аналогии можно показать, что

lim	y	Q x, y, z ;	lim		z R x, y, z .


y 0	y		z 0	z

Таким образом доказано, что

где a M

			x, y,z
y, z		a, dr
	M0M		x0 , y0 ,z0

grad M (M )

	x, y,z
a, dr			Pdx Qdy Rdz , (5)
	x0 , y0 ,z0
	(M )		(M )		.
i		j		k
	y		z

Для определения потенциала векторного поля на практике часто используют не формулу (5), а преобразованный интеграл, вычисляемый через две промежуточные точки по траектории см. рис. 3.

B A

M 0

Рис.3.

В результате получим

x, y, z

x, y , z

x, y, z

x, y, z dz .

(6)

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

Кроме формулы для определения потенциала имеем также важное следствие из полученных выражений:

a , dr M M 0 . (7)

M 0M

Следствие 1. Линейный интеграл в потенциальном поле вычисляется как разность потенциалов в начальной и конечной точках интегрирования.

a, dr для

и M0 1,1,1 ,

Пример 3.

Найти

a M yzi

xzj xyk

M 0M1

M1 3, 2,1 .

Решение:

x, y, z xyz C ; C const ;

a , dr 3, 2,1 1,1,1 5.

M 0M1

4.Соленоидальное поле

Определение 4. Векторное поле

a M P(x, y, z)

Q(x, y, z)

R(x, y, z)k ,

(8)

заданное

области

пространства Oxyz называется соленоидальным

(трубчатым), если существует векторное поле

b M B1 (x, y, z)

B2 (x, y, z)

B3 (x, y, z)k ,

(9)

такое, что во всех точках области выполняется равенство

a M rot

M .

(10)

Определение

5. Векторное поле

b M , удовлетворяющее

условию (10),

называется векторным потенциалом поля a M .

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

Используя символическое правило, условие (10) можно записать в виде

rot b

P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .

Пример 4.

Показать, что вектор b M yzi

2xzj xyk является векторным

потенциалом для поля a M xi

zk .

Решение:

rot b

i x

2x j y

y k

z ix j 0 kz.

2xz

Определение 6. Область называется объемно-односвязной, если для любой кусочно-гладкой замкнутой поверхности , лежащей внутри , область, ограниченная поверхностью , полностью принадлежит .

Примерами объемно-односвязных областей являются шар, параллелепипед, тор. Примером объемно-неодносвязной области является область, находящаяся между двумя концентрическими сферами.

Теорема 2.

Пусть в объемно-односвязной области задано векторное поле

a M P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .

Если существует поле b M : a M rot b M , то

Стаценко И.В. Лекция 14. Потенциальное и соленоидальное поле

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024472.48 Кб0Лекция 1.pdf
#
16.05.2024458.2 Кб1Лекция 10.pdf
#
16.05.2024430.88 Кб1Лекция 11.pdf
#
16.05.2024449.15 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024456.02 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024416.26 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024440.3 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024440.55 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024439.71 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024456.92 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024435.65 Кб0Лекция 5.pdf