ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 10
.pdf1
Лекция 10. Векторное поле. Поток векторного поля. Вычисление потока векторного поля
Лекция 10
Векторное поле и поток векторного поля
1. Векторное поле
Определение 1. Пусть в каждой точке M области D некоторого пространства определена векторная величина a (M ) . В данном случае говорят, что в области
D задано векторное поле a . |
|
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим пространство трех переменных со связанной с ним |
||||||||
декартовой системой координат Oxyz . В точке |
M x, y, z |
области |
|||||||
DOxyz векторное поле a , как правило, задается следующим образом: |
|
||||||||
|
a (M ) P x, y, z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
Q(x, y, z) |
j |
R(x, y, z)k , |
(1) |
||||
где |
функции трех переменных P x, y, z , Q(x, y, z), R(x, y, z) |
называют |
|||||||
компонентами векторного поля. |
|
|
|
|
Определение 2. Векторной линией поля называется кривая, в каждой точке которой вектор a направлен по касательной к данной кривой.
Примерами векторных линий в физике являются силовые линии
гравитационного, электрического и магнитного полей. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть уравнение векторной линии задано параметрически в виде |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
r (t) x t |
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
j |
|
z(t)k . |
(2) |
|||||||||||||||||
Соответствующий вектор касательных к векторной линии будет иметь вид |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
t r (t) x t i |
|
y t j z (t)k . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||||
По определению векторной линии |
|
вектор |
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
должен быть |
коллинеарен |
|||||||||||||||||||||
вектору a , тогда выполняется условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x t |
|
|
|
y t |
|
|
z t |
. |
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
Q |
|
|
P |
|
|
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
2
Причем величина может быть константой или любой дифференцируемой функцией от величин x, y, z,t .
Из (4) имеем систему дифференциальных уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
P x, y, z , |
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
Q x, y, z , |
|
(6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
R x, y, z . |
|
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для поиска векторной линии поля a , проходящей через заданную точку |
||||||||||||||||||
M0 x0 , y0 , z0 , |
дифференциальные уравнения |
(5-7) решают, |
используя |
|||||||||||||||
начальные условия y x0 y0 ; |
|
|
z x0 z0 . |
|
|
|||||||||||||
Пример1. |
Найти |
|
|
векторные |
линии |
поля |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a (M ) z y |
i |
|
x z |
j |
y x k . |
|
|
|||||||||||
Решение: Пусть const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
z y , |
|
|
dy |
x z , |
dz |
y x . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
dt |
dt |
|
Откуда, сложив все три уравнения, получим
d x y z 0 ; dt
d x y z 0dt ;
Получим решение
x y z С1 const .
Умножим уравнения на x , y , z , после чего сложим. В результате получим
d x2 y2 z2 0; dt
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
3
d x2 y2 z2 0dt ;
Откуда получим
x2 y2 z2 С2 const .
Тогда семейство векторных линий для данного векторного поля имеет вид
x y z С1 const,
x2 y2 z2 С2 const.
|
2. Поток векторного поля |
|
|
В |
некоторой области пространства |
рассмотрим |
векторное поле |
a (M ) |
и кусочно-гладкую ориентированную |
замкнутую |
поверхность . |
Рассмотрим также поле единичных нормалей |
n 0 M на выбранной стороне |
||
поверхности . |
|
|
|
Определение 3. Потоком П векторного поля |
a (M ) через ориентированную |
поверхность называется поверхностный интеграл по дифференциалу площади поверхности от проекции векторного поля a (M ) на нормаль n 0 M к поверхности , т.е.
|
|
n |
|
|
a, n 0 |
|
|
||
П |
Пр |
|
a |
d |
|
|
d . |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физическая интерпретация |
потока. |
Рассмотрим |
стационарное |
движение |
жидкости в трехмерном пространстве с полем скоростей v (M ) . Поставим
задачу вычислить объем жидкости, проходящий через поверхность в |
|
определенном направлении за интервал времени t см. рис.1. |
|
Объем dV жидкости, протекающей через элемент d поверхности |
, |
приближенно равен объему цилиндра с основанием d и высотой Прn v t |
|
dV Прn v t d v , n 0 t d . |
(9) |
Тогда через всю поверхность за время t протечет объем жидкости равный
V t v , n 0 d . |
(10) |
|
|
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
4
За единицу времени через всю поверхность протечет объем жидкости равный
V v , n 0 d . |
(11) |
|
|
Таким образом, физический смысл потока состоит в том, что при интерпретации векторного поля a (M ) как поля скоростей стационарной жидкости в
трехмерном пространстве, поток данного поля через поверхность есть объем жидкости, проходящей через данную поверхность в единицу времени.
n 0
v |
|
|
Рис.1.
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
5
Основные свойства потока векторного поля:
1.С изменением ориентации поверхности (с изменением ориентации вектора нормали к поверхности) поток меняет знак на противоположный, т.е.
|
a, n 0 |
|
|
a,n 0 |
|
|
||
|
|
d |
|
|
d . |
(12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Линейность потока
|
|
|
|
|
|
a, n 0 |
|
|
|
|
, n 0 |
|
|
|
a |
b |
, n 0 |
d |
|
d |
|
|
b |
d , |
(13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где , const .
3.Аддитивность потока
|
a, n 0 |
|
|
a, n 0 |
|
|
a, n 0 |
|
|
|
d |
|
d |
|
d . |
(14) |
|||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
где 1 , 2 - два непересекающихся (но имеющих общую границу) гладких фрагмента поверхности , формирующие всю поверхность .
3.Вычисление потока векторного поля
Для вычисления потока векторного поля через поверхность использовать следующие способы:
-метод проектирования на одну координатную плоскость;
-метод проектирования на три координатные плоскости;
-метод использования криволинейных координат;
-теорему Остроградского-Гаусса.
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
6
3.1.Вычисление потока векторного поля методом проектирования на одну координатную плоскость
Пусть незамкнутая ограниченная поверхность задается в явном виде |
||||||||||||||||||||||||||
уравнением z z x, y |
и |
проектируется на |
плоскость |
|
Oxy в область |
Doxy . |
||||||||||||||||||||
Тогда для дифференциала площади поверхности d |
|
|
|
|
|
|
и дифференциала |
|||||||||||||||||||
области ds dxdy ранее установлена взаимосвязь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
, |
|
|
|
(15) |
||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
cos x, y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z x, y 2 |
|
z x, y |
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае поток векторного поля вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
a, n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
П |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z ( x, y ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j k |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
x, y |
|
z |
x, y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
x, y |
2 |
|
|
z x, y 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17)
(18)
Для определения знака вектора единичной нормали |
n 0 используется |
следующее правило: если угол x, y между положительным направлением |
|
оси Oz и вектором n 0 в точке x, y, z(x, y) поверхности |
острый, то в |
формуле (18) берется знак плюс; если данный угол тупой, то берется знак минус.
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
7
Для удобства запоминания формулы (18) используется следующий вариант с использованием оператора градиента скалярного поля.
|
|
|
|
|
n 0 |
|
grad z z(x, y) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
grad z z(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
grad f (x, y, z) f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где |
|
|
i |
|
j |
k . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть незамкнутая ограниченная поверхность задается в явном виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнением |
x x y, z |
|
и |
проектируется на |
плоскость Oyz в область Doyz . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда для |
дифференциала |
площади |
|
|
|
поверхности |
d |
|
|
и |
дифференциала |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
области ds dydz ранее установлена взаимосвязь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
dydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dydz |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(20) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
cos y, z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x y, z 2 |
|
|
x y, z 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В этом случае поток векторного поля вычисляется по формуле |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a, n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
П |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dydz , |
(22) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x( y,z ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
grad |
x x( y, z) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(23) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
grad x x( y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Для определения знака вектора единичной |
|
нормали |
n 0 используется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующее правило: если угол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y, z между |
|
|
положительным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направлением оси Ox |
|
и |
вектором |
|
|
n 0 в |
точке |
|
x y, z |
, y, z поверхности |
острый, то в формуле (23) берется знак плюс; если данный угол тупой, то берется знак минус.
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
8
Пусть незамкнутая ограниченная поверхность задается в явном виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнением y y |
x, z |
|
и проектируется |
на |
плоскость |
Oxz в область Doxz . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда для дифференциала площади поверхности |
d |
|
|
и |
дифференциала |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
области ds dxdz ранее установлена взаимосвязь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
dxdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdz |
|
|
|
, |
|
|
|
(24) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
cos y, z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y x, z 2 |
y x, z 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В этом случае поток векторного поля вычисляется по формуле |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
П |
a, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdz , |
(26) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y ( x,z ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
grad y y(x, z) |
|
. |
|
|
|
|
|
(27) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad y y(x, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Для определения знака вектора единичной |
|
нормали |
|
n 0 используется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующее правило: если угол |
|
|
|
|
|
x, z между |
положительным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
направлением оси |
Oy |
|
и |
вектором |
|
n 0 в |
|
точке |
|
x, y x, z |
, z поверхности |
острый, то в формуле (27) берется знак плюс; если данный угол тупой, то берется знак минус.
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
9
Пример 2. Найти поток векторного поля a yi xj zk через часть поверхности параболоида z x2 y2 для условия 0 z 1 (нормаль внешняя).
Решение:
Используем формулы (15-18) для поверхности, заданной в явной форме
z z x, y .
Тогда
|
|
grad z x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
2xi |
2 yj k |
; |
|
|||||||
|
grad z x2 |
y2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4x2 4 y2 1 |
|
|||||||||
В формуле используется знак , так как вектор внешней |
нормали |
на всей поверхности параболоида имеет тупой угол по отношению к положительному направлению оси Oz см. рис. 1
z
1
y
n 0
x |
Рис.2. |
|
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля
10
Далее получаем
|
|
|
|
cos x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x2 4 y2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a, n 0 |
2xy 2 yx z |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 4 y2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a, n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
П |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z ( x, y) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4xy z |
|
z x2 y2 |
dxdy |
4xy |
dxdy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
DOxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DOxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 2 sin 2 2 d d d 2 3 sin 2 3 d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
GO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
4 |
sin 2 |
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
d |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля