Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 9

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

453.54 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 9. Вычисление площади поверхности для функции, заданной параметрически. Поверхностный интеграл по дифференциалу площади поверхности. Свойства поверхностного интеграла по дифференциалу площади поверхности. Вычисление поверхностного интеграла по дифференциалу площади поверхности.

Лекция 9

Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

1. Площадь поверхности и ее вычисление для функции, заданной параметрически

Теорема 1. Пусть поверхность задана в параметрическом виде

					u,v Gouv .
r u,v x u,v	i	y u,v	j	z u,v k ,	u,v Gouv .	(1)
Если функции x u,v , y u,v , z u,v имеют					непрерывные	частные

производные в области Gouv , ограниченной простым кусочно-гладким контуром, то поверхность квадрируема и ее площадь S вычисляется по одной из формул

S	ru , rv	dudv ,	(2)
S	ru , rv	dudv ,	(2)
Gouv

EG F 2 dudv ,

Gouv

где

x 2

y 2

z 2

x 2

y 2

z 2

F ru , rv

y y

z .

u v

Замечание 1. Величина

ru , rv

dudv

EG F 2 dudv

элементом площади поверхности в криволинейных координатах.

(3)

(4)

(5)

(6)

называется

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

Gouv

Доказательство:
В формуле S	ru , rv dudv модуль векторного произведения под знаком

интеграла есть модуль вектора нормали к произвольной точке поверхности .

ru , rv

Ранее было показано, что в криволинейных координатах

Докажем далее, что S

dudv . Для этого достаточно

показать, что

Gouv

dudv

В данном случае имеет место отображение переменных следующего

вида:

x x u,v ;

y y u,v ;

z z u,v .

Известно, что переход от элемента площади в области Doxy в декартовых

координатах к элементу площади поверхности определяется следующим выражением

dxdy

cos( )

где N Ai Bj Ck ;

cos( )

В свою очередь, элемент площади в области Doxy связан с элементом площади в области Gouv через якобиан перехода, т.е.

dxdy J dudv ,

где

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

			3
	x	x
	x	x
				x y	x y .
J	u	v		x y
J	y	y
	y	y		u v	v u

	u	v

Тогда

dxdy

dudv

cos( )

Кроме того,

i y

N ru , rv

z y zv v u

x z

u v

x z

v u

u v

iA jB kC .

		x y			x y

		u v
					v u
		x y			x y

		u v
					v u

x y

Сравнивая величину

u v

v u

x y

можно сделать вывод, что

u v

v u

Тогда

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

dxdy

dudv

dudv .

cos( )

Что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида z x2 y2 , 0 z 1, используя криволинейные координаты.

Решение:


Уравнение r		,		cos			i sin				j	2	k	,	0 1,	0 2

параметрически задает положительную поверхность кругового параболоида высотой вдоль оси Oz одна единица.

Далее используем формулу

EG F 2 dudv :

Gouv

y 2

z 2

cos2

sin2 4 2 1 4 2 ;

2 sin2 2 cos2 0 2 ;

sin

cos

sin

0 .

Тогда

1 4 2 2 d d d

1 4 2 d

125 1 .

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

Пример 2. Найти площадь поверхности полусферы z 1 x2 y2 , 0 z 1, используя криволинейные координаты.

Решение:

Уравнение

cos

sin

j cos

k ,

0 2 ,

параметрически задает положительную поверхность

полусферы радиусом единица.

Тогда

sin2 sin2 cos2 0 sin2 ;

x 2

y 2

z 2

cos

sin

x x

y y

z z

sin 2 sin

sin 2

sin 2 0 .

2 dudv

sin2

EG F

d d

sin

d 2 cos

2 .

Gouv

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

2. Поверхностный интеграл по дифференциалу площади поверхности

Пусть в каждой точке M гладкой поверхности задана функция									f M .
Разобьем	поверхность кусочно-гладкими кривыми							на	части
1, 2 , 3 ,..., n , соответственно, с площадями 1, 2 , 3 ,..., n .
Внутри	каждой части (фрагмента)						k поверхности	обозначим
произвольную точку M k и составим интегральную сумму
	n			k		k
		f	M	k		k
		f	M				.		(7)
	k 1
Пусть k	- диаметр фрагмента k , а				max k .
							k

Определение 1. Поверхностным интегралом по дифференциалу площади поверхности называется конечный предел интегральных сумм

I lim f M k k , (8)

0 k 1

получаемый при 0, независимо от способа разбиения поверхности на n фрагментов и выбора точек M k внутри фрагмента.

Используется следующее обозначение поверхностного интеграла по дифференциалу площади поверхности

lim

M d .

(9)

0 k 1

Физический смысл поверхностного интеграла: пусть на ограниченной поверхности распределена масса вещества с поверхностной плотностью

M , тогда интеграл вида M d - есть масса данной поверхности.

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

3. Свойства поверхностного интеграла по дифференциалу площади поверхности

Свойства	поверхностного интеграла		рассмотрим для трех функций
f f x, y, z ,	f1 f1 x, y, z ,	f2	f2 x, y, z , непрерывных на

ограниченной кусочно-гладкой поверхности .

Учитывая, то обстоятельство, что поверхностный интеграл по дифференциалy площади поверхности, через интегральные суммы вводится аналогично (инвариантно) двойному интегралу (исключением является подынтегральная функция трех переменных), свойства поверхностного интеграла данного типа аналогичны свойствам двойного интеграла.

1.	d S ,

где S - площадь поверхности			.
2.	f1 x, y, z f2 x, y, z d f1 x, y, z d f2 x, y, z d ,

где , const .
3.	f x, y, z d f x, y, z d f x, y, z d
		1	2

где 1, 2 два непересекающихся (имеющие общую границу) фрагмента поверхности , формирующие всю поверхность .

4. f1 x, y, z d f2 x, y, z d ,


если M		f1 x, y, z f2 x, y, z .
5.	S m f x, y, z d MS

если P		m f x, y, z M ,	m, M const .
6.	M :

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

f x, y, z d S f M .

4. Вычисление поверхностного интеграла по дифференциалу площади поверхности

Теорема 2. Пусть поверхность задана в явном виде уравнением

z z x, y ,	x, y Doxy .		(10)
Если функция z z x, y имеет	непрерывные	частные	производные в
замкнутой ограниченной области Doxy , а функция		f f x, y, z непрерывна на

, тогда поверхностный интеграл по дифференциалу площади поверхности можно вычислить по формуле

x, y, z d

f (x, y, z(x, y)) 1

2 dxdy .

(11)

Doxy

Доказательство:

Рассмотрим разбиение поверхности кусочно-гладкими кривыми

на

части 1, 2 , 3 ,..., n , соответственно, с площадями

1, 2 , 3 ,..., n .

Пусть проекции каждого фрагмента k

на область Doxy

имеют обозначение Dk ,

а площадь данной проекции - Sk .
В соответствии с ранее доказанным материалом (см. лекцию 8)							площадь
k гофрагмента поверхности связана с площадью						области соответствующей
проекции на области Doxy	следующим соотношением

d k		1 zx 2	M k	zy 2		Sk .	(12)


					M


					k
где Mk xk , yk Dk .	Точку Mk xk , yk всегда можно найти внутри области

Dk , так, чтобы выполнялось равенство (12) при условии непрерывности производных zx и zy внутри фрагмента Dk .

Составим интегральную сумму

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

n	n
		1 zx 2	zy 2

f xk , yk , z xk , yk k	f xk , yk , z xk , yk			Sk .
k 1	k 1		M k	M k

Перейдя к пределу при 0, получим

2 dxdy .

x, y, z d

f (x, y, z(x, y)) 1

Doxy

Замечание 2.

Если поверхность задана в явном виде уравнением

x x y, z ,

y, z Doyz .

(13)

И при этом функция

x x y, z имеет непрерывные частные производные в

замкнутой ограниченной области Doyz , а функция

f x, y, z непрерывна на

, тогда поверхностный интеграл по дифференциалу площади поверхности можно вычислить по формуле

2 dydz .

x, y, z d

f (x

y, z

, y, z) 1

(14)

Doyz

Замечание 3.

Если поверхность задана в явном виде уравнением

y y x, z ,

x, z Doxz .

(15)

И при этом функция

y y x, z имеет непрерывные частные производные в

замкнутой ограниченной области Doxz , а функция f

f x, y, z непрерывна на

, тогда поверхностный интеграл по дифференциалу площади поверхности можно вычислить по формуле

2 dxdz .

x, y, z d

f (x, y

x, z

, z) 1

(16)

Doxz

Пример 3.

Найти

поверхностный интеграл

x y z d по

части

поверхности плоскости

x y z 1, удовлетворяющей условию: x 0,

y 0,

z 0 .

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

		10
Решение:	Изобразим	часть плоскости	x y z 1, удовлетворяющей
условию:	x 0, y 0,	z 0 , см. рис. 1.

Doxy	1	y
	1

Рис.1.

Далее будем	использовать уравнение поверхности в явном виде
z 1 x y с проекцией на плоскость Oxy в область
Doxy	x, y : 0 x 1, 0 y 1 x .

Тогда имеем

1 zx 2 zy 2 3 ,

Стаценко И.В. Лекция 9. Площадь поверхности (продолжение) и поверхностный интеграл

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024435.65 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024384.5 Кб0Лекция 6-7.pdf
#
16.05.2024459.54 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024449.5 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024447.02 Кб0Лекция 8.pdf
#
16.05.2024453.54 Кб1Лекция 9.pdf