Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

447.02 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 8. Кривые в пространстве и способы их задания. Поверхности в пространстве и способы их задания. Площадь поверхности и ее вычисление для функции, заданной в явном виде.

Лекция 8

Площадь поверхности

1. Кривые в пространстве и способы их задания

Рассмотрим пространство трех переменных, связанное с декартовой

системой координат Oxyz .

Кривая

L в данном пространстве может быть задана параметрическими

уравнениями:

x x(t) ,

y y(t) , z z(t) ,

t t1 .

(1)

Определение 1.

Кривая

L называется незамкнутой кривой, если функции

x x(t) ,

y y(t) ,

z z(t)

непрерывны на отрезке t0 t t1

и различным

значениям

параметра

t t0 ,t1 соответствуют

различные

точки

M x(t), y(t), z(t) .

Если

точка

M0 x(t0 ),

y(t0 ), z(t0 )

совпадает

точкой

x(t1 ),

y(t1 ),

z(t1) ,

всем

остальным

значениям

параметра

t0 ,t1 соответствуют различные точки,

то кривая

L называется замкнутой

кривой (контуром).

Определение 2.

Кривая L называется гладкой кривой (кусочно-гладкой), если

функции

x x(t) ,

y y(t) ,

z z(t)

имеют

непрерывные

(кусочно-

непрерывные)

производные

x (t),

y (t) ,

z (t) ,

не обращающиеся в нуль

одновременно на всем отрезке t0 ,t1 , за исключением конечного числа точек.

Определение 3. Кривая L называется ориентированной кривой, если у данной кривой указаны начало и конец, а для замкнутой кривой направление обхода.

Пример 1. Кривая, заданная параметрически в виде:

L : x sin t , y cos(t),		z 1,	0 t 2 ,
является окружностью радиуса R 1,		расположенной в плоскости z 1, c
центром в точке M
центром в точке M	0,0,1 .

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

2. Поверхности в пространстве и способы их задания

Рассмотрим пространство трех переменных, связанное с декартовой системой координат Oxyz .

Поверхность в данном пространстве может быть задана явно в одной из трех следующих форм:

x x y, z ,	y, z Doyz ,	(2)
y y x, z ,	x, z Doxz ,	(3)
z z x, y ,	x, y Doxy .	(4)
Кроме того, поверхность в данном пространстве может быть задана
неявно в виде
F (x, y, z) 0 .		(5)

В пространстве Oxyz возможен также параметрический способ задания поверхности в виде

x x u,v ,

y y u,v ,

z z u,v ,

u,v Gouv .

(6)

Возможен также векторный вариант параметрического представления

поверхности

u,v Gouv ,

r u,v x u,v

y u,v

z u,v k ,

(7)

где

i , j , k - ортогональный канонический базис.

Пример 2.

Уравнение

x2 y2

явно

задает положительную

поверхность кругового конуса.

Пример 3.

Уравнение

z2 x2 y2 0 неявно задает положительную и

отрицательную поверхность кругового конуса.

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

		3
Пример 4.	Уравнение	r , cos i	sin j k ,


0 ,	0 2 параметрически задает положительную поверхность
кругового конуса.
Определение 4.		Поверхность называется гладкой, если для любой точки

данной поверхности существует такая окрестность, которая вырезает часть

поверхности, допускающую явное представление вида	(2-3) , где функции
x y, z , y x, z , z x, y имеют непрерывные частные	производные по всем

своим переменным.

В каждой внутренней точке гладкой поверхности существует касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть поверхность задана уравнением (2). Тогда уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке M0 x y0 , z0 , y0 , z0 имеет вид

x M0

y y0

x M0 z z0 x x y0 , z0 0 .

(8)

Вектор N

является вектором нормали к данной

поверхности в точке M 0 .

Пусть поверхность задана уравнением (3). Тогда уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке M0 x0 , y x0 , z0 , z0 имеет вид

M 0 x x0

y M

0 z z0 y y x0 , z0 0 .

(9)

Вектор

, 1,

является вектором нормали к данной

поверхности в точке M 0 .

Пусть поверхность задана уравнением (4). Тогда уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке M0 x0 , y0 , z x0 , y0 имеет вид

	z	M0 x x0	z	M0 y y0 z z x0 , y0 0 .	(10)
	x		y

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

M0 ,

Вектор N

, 1 является вектором нормали к данной

поверхности в точке M 0 .

Пусть поверхность задана уравнением (5)

в виде

F (x, y, z) 0 .

Определение 5.

Точка M0 (x0 , y0 , z0 ) называется особой для поверхности (5),

если в данной точке выполняется условие

0 .

(11)

Если в точке M0 (x0 , y0 , z0 )

выполняется

0 , то

данная точка является не особой для данной поверхности.

Поверхность F (x, y, z) 0 является гладкой, в некоторой области задания, если в данной области поверхность не имеет особых точек.

Уравнение касательной плоскости к поверхности

F (x, y, z) 0 в не особой

точке M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид

Fx M0 x x0 Fy M0 y y0 Fz M 0 z z0 0 .

(12)

, F

Вектор

является вектором нормали к

данной поверхности в точке M 0 .

Пусть поверхность задана уравнением (7)

в виде

r u,v x u,v

y u,v

z u,v k , u,v Gouv .

Векторы

						i
r		u,v	x		u,v

	u			u

u,v

k ,

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

u,v

Направлены по касательным к координатным линиям на поверхности .

r	v (u u0 )
v

u (v v0 )

Рис.1.

Точка		M0 x u0 ,v0 , y u0 ,v0 , z u0 ,v0 называется				не особой точкой
поверхности (7) , если в этой точке векторы			r	и	r	не коллинеарны, т.е.
			u		v
r	, r	0 .
u	v

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

Вектор

, r

Ai Bj Ck

(13)

является вектором нормали в произвольной точке поверхности.

Уравнение касательной плоскости к поверхности (7) в точке

M0 x u0 ,v0 , y u0 ,v0 , z u0 ,v0 имеет вид:

A x x0 B y y0 C z z0 0,

(14)

где

Замечание 1.

Вектор N ( 1) также является вектором нормали к поверхности

в точке M0 x u0 ,v0 , y u0 ,v0 , z u0 ,v0 .

Далее введем понятие стороны поверхности .

Выберем на поверхности простой (без самопересечений) контур L , не пересекающий границы поверхности см. рис. 2. По линии контура сформируем поле нормалей к поверхности следующим образом: первую нормаль отложим в точке M в одном из двух возможных направлений; вторую нормаль в следующей точке по контуру, используя направление к поверхности, выбранное в точке M и.т.д.

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

Рис.2.

Определение 6. Поверхность называется двусторонней, если для произвольного контура на поверхности , выбранное в точке M направление нормали, не изменит своего направления при возвращении в точку M на противоположное.

Примером односторонней поверхности является лис Мёбиуса.

Определение 7. Двусторонняя поверхность называется ориентированной, если для нее определена верхняя (нижняя), правая (левая), или внешняя (внутренняя) сторона поверхности.

Пусть на ориентированной поверхности задан простой (без самопересечений) контур.

Определение 8. Ориентацию контура L (направление обхода) на поверхностибудем называть положительной, если из конца вектора нормали к поверхности обход контура виден совершающимся против часовой стрелки.

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

3. Площадь поверхности и ее вычисление для функции, заданной в явном виде

Пусть - гладкая ограниченная поверхность. Разобьем данную поверхность с помощью кусочно-гладких кривых на конечное число частей

i (i 1, 2,3,..., n) так, чтобы каждая часть i однозначно проектировалась на касательную плоскость, проведенную в любой точке этой части.

На каждой части i возьмем произвольную точку Мi и проведем касательную плоскость к поверхности в данной точке (см. рис. 3).

Рис.3.

В результате таких процедур получается так называемая “чешуйчатая” поверхность. На рис. 3. представлены два фрагмента такой поверхности,

приподнятые для наглядности на векторах нормали к точке Мi .

Обозначим далее через i площадь проекции	i	на касательную
плоскость. Составим интегральную сумму
n
Sn i .		(15)
i 1
Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

Сумма (15) – есть площадь “чешуйчатой’ поверхности. Пусть				i -
диаметр фрагмента i , а	max i . Тогда площадь поверхности		можно
	i
найти, перейдя к следующему пределу
		n
	S lim i .			(16)
	0	i 1
		i 1

Теорема 1. Пусть гладкая ограниченная поверхность задана в явном виде уравнением

z z x, y ,

x, y Doxy ,

где функция

z x, y имеет непрерывные частные производные

области Doxy ,

ограниченной простым кусочно-гладким контуром

L .

Тогда поверхность квадрируема и ее площадь вычисляется по формуле

dxdy .

(17)

Доказательство:

Разобьем область Doxy

гладкими линиями на n частей

D1, D2 , D3 ,..., Dn .

Площадь каждой части обозначим через S1, S2 , S3 ,..., Sn .

В каждой

части Dk выберем точку

Pk xk , yk . Далее

поднимем высоту

от

точки

Pk xk , yk к соответствующей точке Mk xk , yk , z xk , yk на поверхности .

В точке M k проведем касательную плоскость к поверхности.

На рис. 3. фрагмент k касательной плоскости в точке M k

приподнят

для наглядности над точкой касания на векторах параллельных оси Oz .

Из рисунка следует, что площадь

k фрагмента

k связана

соответствующим фрагментом площади Sk

на области

Doxy очевидным

соотношением

(18)

cos k

где k - угол между вектором нормали

N к поверхности в точке M k и осью

Oz .

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

N k

M k

Doxy

Рис.4.

Стаценко И.В. Лекция 8. Площадь поверхности

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024456.92 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024435.65 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024384.5 Кб0Лекция 6-7.pdf
#
16.05.2024459.54 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024449.5 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024447.02 Кб0Лекция 8.pdf
#
16.05.2024453.54 Кб1Лекция 9.pdf