Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

449.5 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 7. Определение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Замена переменной в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах.

Лекция 7

Тройной интеграл

1.Определение тройного интеграла

Внекотором пространстве трех переменных рассмотрим кубируемую (имеющую объем) область . Пусть в данной области определена функция

трех переменных		f (M ) , где M .
	Разобьем область произвольным образом на n						кубируемых частей: 1 ,
2 ,	3 , …, n , не имеющих общих внутренних точек. В каждой области i
выберем произвольную точку Mi .
	Составим далее интегральную сумму
		n			i	i
					i	i
			f	M	V ,		(1)
		i 1
где	Vi - объем области i .
	Пусть i	- диаметр области i , а max i					- максимальный диаметр
						i
разбиения.
Определение 1.		Число I называется тройным интегралом по области от

функции f (M ) , если независимо от способа разбиения области							на части i
и независимо от способа выбора точек				Mi		внутри области существует предел
интегральной суммы (1) при 0 в виде
	n
lim		f	M		V I .		(2)
0					i	i
0	i 1
	i 1
Данный предел также обозначают следующим образом
	I f M dV .						(3)

Теорема 1. Если функция f (M )	непрерывна в замкнутой кубируемой области

, то она интегрируема в данной области, т.е. существует тройной интеграл в виде (2).

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

			2. Свойства тройного интеграла
		Пусть f1 (M )		и f2 (M ) - функции, определенные и интегрируемые в
некоторой кубируемой области .
1.		1dV V ,		где V - объем области .

2.		С1 f1 M С2 f2			M dV C1 f1 M dV C2 f2 M dV ,

	где C 1 , C 2 const .
3.		f M dV f M dV f M dV ,
				1		2
		где 1 , 2 - две не пересекающиеся во внутренних точках области,
	формирующие полный объем области .
4.	f1 M dV f2 M dV ,

	если M			f1 M f2 M .
		f M dV			f M	dV .

5.

6.	V f M dV V ,

	если M			f (M ) .

7.Теорема о среднем. Если функция f (M ) непрерывна в замкнутой ограниченной области , то в данной области существует точка , такая, что

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

		3

f	M	dV f	V .

3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

В пространстве Oxyz рассмотрим кубируемую (имеющую объем)

замкнутую область . Пусть в данной области определена функция трех
переменных f (M ) , где M x, y, z .
Тройной интеграл от функции	f (M ) по области имеет вид
f M dV	f x, y, z dxdydz .	(4)

Рассмотрим способ сведения тройного интеграла к повторному, полагая, что область интегрирования является правильной в направлении Oz (см.

рис.1).

z2 x, y

	A			y
a	A
a
y1 x	Doxy	y2	x	z1 x, y
		y2	x

Рис.1.

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

Область Doxy является проекцией объемного тела на плоскость z 0 в

направлении оси Oz . В свою очередь, область Doxy проецируется на ось Ox в

виде отрезка a,b .

Далее будем полагать, что выполняются следующие ограничения.

Область Doxy является замкнутой и правильной в направлении Oy , т.е.

выполняются два условия:
1. Граница области Doxy состоит из двух гладких функций y1	x и
y2 x , разделенных точками A и B см. рис.1.

2.Любой луч, проведенный из отрезка a,b в направлении Oy пересекает границы области Doxy ровно два раза.

Область интегрирования является замкнутой и правильной в направлении Oz , т.е. выполняются два условия:

1.Нижняя и верхняя границы тела - поверхности, соответственно, z1 x, y и z2 x, y являются гладкими поверхностями.

2.Любой луч, проведенный из области Doxy через объемное тело в направлении Oz , пересекает его нижнюю и верхнюю границы каждую ровно по одному разу.

Теорема 2. Пусть существует тройной интеграл вида

f M dV f x, y, z dxdydz ,		(4)

и для любой точки M Doxy существует определенный интеграл

z2	x, y
F (x, y)	f (x, y, z)dz ,	(5)
z1 x, y

тогда тройной интеграл (4) можно вычислять в виде следующего повторного интеграла

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

			z2	x, y
f x, y, z dxdydz dxdy					f x, y, z dz .	(6)
		Doxy	z1 x, y
Интеграл (6), в свою очередь, можно представить в виде
	z2 x, y	b	y2 x	z2	x, y
dxdy		f x, y, z dz dx		dy	f (x, y, z)dz .	(7)
Doxy	z1 x, y	a	y1 x	z1 x, y

Пример 1. Вычислить интеграл x y z dxdydz по объемному телу ,


ограниченному плоскостями x 0;	x 1;	y 0;	y 1;	z 0;	z 1.

Решение. Объемное тело представляет собой куб – область интегрирования, правильная по направлениям Ox , Oy , Oz . Тогда

														1				1		1
				x y z dxdydz dx dy (x y z)dz
														0				0		0
																																			2		1
																																					1
		dx dy (x y z)d											z x y dx dy														x y z
		1			1		1												1				1
		0			0		0												0				0							2
2																			2																		0
																																					0

1	1	1							2								2		1		1				1									2

	dx dy					1	x y					0	x y									dx 1 x y														d		x y		1
	0	0																			0				0
		1	1			1										1		1											0	1									0
		1	dx x y 2 d x y													1		dx 1 x y 3											0	1 dx x y 3									0
																													1										1
		2 0				0										6 0														6 0
		2 0				0										6 0														6 0
				1		1					1		1							1		1										1		1
				1		2 x 3 dx					1			1 x 3 dx						1			1 x 3 dx									1		x3dx
				6		2 x 3 dx					6			1 x 3 dx						6			1 x 3 dx									6		x3dx
						0							0									0												0
								1		2 x				4	1	1 x				4				1		x4		1			3		.
								1							1					4				1							3

														12									24							2
							24							12									24					0		2
							24																					0

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

4.Замена переменной в тройном интеграле

В пространстве Oxyz рассмотрим кубируемую (имеющую объем)

замкнутую область	. Пусть в данной области определена функция трех
переменных f (M ) , где M x, y, z .
Тройной интеграл от функции		f (M ) по области имеет вид
	f M dV	f x, y, z dxdydz .		(8)

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия.
1. Существует	взаимно однозначное		отображение точек	u,v, w
кубируемой области G на точки x, y, z			кубируемой области в виде
	x x u,v, w ,			(9)
	y y u,v, w ,			(10)
	z z u,v, w .			(11)

2.Функции x x u,v, w , y y u,v, w , z z u,v, w непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка.

3.Якобиан отображения

	x	x	x
	x	x	x

	u	v	w
J u,v, w	y	y	y	0 .	(12)
J u,v, w	u	v	w	0 .	(12)
	u	v	w
	z	z	z

	u	v	w

Тогда справедлива формула замены переменной в тройном интеграле

f x, y, z dxdydz f x u,v, w , y u,v, w , z u,v, w J dudvdw .

(13)

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

5.Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Точка трехмерного пространства в цилиндрических координатах см. рис. 2. представляется тремя переменными , , z , связанными с декартовыми

координатами x, y, z следующими соотношениями:


x cos		,	0 ,	0 2 .	(14)

	y sin			,	(15)
			z z .		(16)

M , , z

Рис.2.

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим имеет вид

cos

- sin

J , , z

sin

cos

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

Тогда формула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к цилиндрическим имеет вид

f x, y, z dxdydz f x , , z , y , , z , z , , z d d dz .

	G
	(17)

Пример 2. Вычислить интеграл x2 y2 dxdydz по объемному телу ,

ограниченному плоскостью z 0 и параболоидом z 1 x2 y2 .

Решение. Запишем систему неравенств для области интегрирования G в цилиндрических координатах.

	При			z 0					на		плоскости					имеем	круговую			область			интегрирования
oxy							x2 y2
D			x, y			: 0	x2 y2								1 . Объемное тело					моделируется следующей
системой неравенств:

															: 0 x2 y2					1 x2 y2 .
											x, y, z				: 0 x2 y2		1;		0 z	1 x2 y2 .
		Тогда объемное тело G в цилиндрических координатах моделируется
следующей системой неравенств:

				G					, , z				: 0		2	1, 0 2 , 0 z 1- 2 .
				G					, , z				: 0		2	1, 0 2 , 0 z 1- 2 .

		С учетом того, что												0		2 1		0	1			получим следующий
повторный интеграл в цилиндрических координатах
																2		1		1 2
								x2				y2 dxdydz					d 2d				dz .
																0		0		0
		2			1					1 2						1						4		1
		2			1					1 2						1						4	6	1
		d 2d										dz 2 3 1 2 d 2														.
		d 2d										dz 2 3 1 2 d 2									4		6		6	.
		0			0						0					0					4		6	0	6
																								0

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

6.Тройной интеграл в сферических координатах

Точка трехмерного пространства в сферических координатах см. рис. 3. представляется тремя переменными r, , , связанными с декартовыми

координатами x, y, z следующими соотношениями:


x r cos	sin		,	r 0 ,	0 2 ,			0	(18)
		y r sin
		y r sin			sin		,		(19)

				z r cos		.			(20)

M r, ,

Рис.3.

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид

	x	x	x
	x	x	x
	r
	r
J r, ,	y	y	y
J r, ,	r
	r
	z	z	z

	r

cos

sin

-r sin

sin

rcos

cos

sin

rcos

sin

r sin

cos

-rsin( )

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

Вычисление определителя дает следующий результат:

J r, , r2 cos2 sin	-sin( )	cos( )	r sin3	( )	cos( )	-rsin( )
	-sin( )	cos( )			cos( )	-rsin( )
	cos( )	sin( )			sin( )	rcos( )

r2 cos2 sin r2 sin3 ( ) r2 sin .

Таким образом, для отображения переменных (18-20)

				r2 sin
J		r, ,		r2 sin			.	(21)

Тогда формула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к cферическим при отображении (18-20) имеет вид

f x, y, z dxdydz f x r, , , y r, , , z r, , r 2 sin drd d

	G
			(22)
Пример 3.	Вычислить интеграл	x2 y2 z2 dxdydz по объемному телу


, ограниченному плоскостью		z 0 и половиной сферы z	1 x2 y2 .

Решение. Запишем систему неравенств для области интегрирования G в сферических координатах.

	При		z 0		на	плоскости имеем круговую		область интегрирования
oxy					x2	y2
D		x, y		: 0	x2	y2	1 . Объемное тело	моделируется следующей

системой неравенств:



x, y, z	: 0	x2	y2	1;	0 z 1 x2 y2 .

Тогда объемное тело G в сферических координатах моделируется следующей системой неравенств:

	r 1, 0	2 , 0
G r, , : 0	r 1, 0	2 , 0	.
			2

Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024439.71 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024456.92 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024435.65 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024384.5 Кб0Лекция 6-7.pdf
#
16.05.2024459.54 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024449.5 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024447.02 Кб0Лекция 8.pdf
#
16.05.2024453.54 Кб1Лекция 9.pdf