ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 6

x x(u,v) ,

(1)

y y(u,v) .

(2)

Пусть данная система задает взаимно однозначное отображение точек

плоскостей Ouv и Oxy . То есть для каждой точки u,v области G плоскости

Ouv в соответствии с

отображением (1-2) можно найти

строго

одну точку

x, y области D плоскости Oxy и наоборот.

Пусть

функции

x x(u,v)

и

y y(u,v)

непрерывны в

области G

вместе со своими частными производными

x

,

x ,

y

,

y .

Тогда любой

u

v

u

v

непрерывной

кривой,

заданной

в

области

G ,

будет соответствовать

непрерывная кривая в области D , а двум не пересекающимся кривым в области

G будут соответствовать две не пересекающиеся кривые в области D см. рис.1.

y

v

M 0

y0

N0

G

v0

D

x

u

O

x0

O

u0

2

На рис. 1 прямолинейной сетке линий на области

G будет соответствовать

криволинейная сетка линий на области D .

При этом координаты точки N0 u0 ,v0 на плоскости

G можно рассматривать

линиями сетки в областях G и D см. рис. 2.

y

B1

v

A1

B

C

G

v v

y u,v

C1

D1

v

A

D

D

x

u

O

x(u,v)

O

u

u u

Рис.2

Четырехугольник

ABCD области G плоскости Ouv в соответствии с

отображением (1-2) отображается в четырехугольник

A1B1C1D1 области

D плоскости Oxy .

При этом

точка A u,v отображается в точку A1 x u,v , y u,v ;

точка B u,v v отображается в точку B1 x u,v v , y u,v v ;

точка C u u,v v

в точку C1 x u u,v v , y u u,v v ;

точка D u u,v в точку D1 x u u,v , y u u,v .

Рассматривая

функцию

двух

переменных

x x u,v ,

первый

дифференциал данной функции можно записать в виде

dx

x

u

x v ,

(3)

u

v

где

dx

x

u

и

dx x v

-

частные

дифференциалы

функции

u

u

v

v

x x u,v , вызванные приращениями, соответственно, переменных

u и v по

отдельности.

При u 0, v 0 полное приращение

x x u u,v v x u,v

функции x x u,v можно заменить первым

дифференциалом

dx x ,

а,

соответственно,

частные

приращения

xu

x u u,v x u,v ,

xv x u,v v

x u,v

функции

x x u,v – частными дифференциалами

dxu

xu ,

dxv xv .

По

аналогии, рассматривая

функцию

двух переменных

y y u,v ,

первый (полный) дифференциал данной функции можно записать в виде

dy

y

u

y v ,

(4)

u

v

где

dy

y

u

и dy

y

v -

частные дифференциалы

функции

v

u

u

v

y y u,v , вызванные приращениями, соответственно, переменных

u и v по

отдельности.

При u 0, v 0 полное приращение

y y u u,v v y u,v

функции y y u,v

можно заменить первым

дифференциалом

dy y ,

а,

соответственно,

частные

приращения

yu

y u u,v y u,v ,

yv y u,v v y u,v

функции

y y u,v – частными дифференциалами

dyu

yu ,

dyv yv .

3. Замена переменной в двойном интеграле

Пусть в области D пространства Oxy задана функция f (x, y) .

Теорема 1. Пусть G и D - замкнутые квадрируемые области,

а функция

ограничена и непрерывна в области D.

Если отображение

x x(u,v) ,

(13)

y y(u,v) .

(14)

x

y

J u,v

v

v

0

x

y

u

u

во всех точках области G .

Тогда справедливо равенство

f (x, y)dxdy f x u,v , y u,v

J

dudv .

(15)

D

G

7

SGi ,

а площадь

соответствующего

ему i го квадрируемого

фрагмента

площади D имеет обозначение SDi .

Тогда

J ui ,vi

SDi

J ui ,vi

SGi

ui vi ,

(15)

где

J u,v

-

модуль якобиана вычисляется в любой точке внутри фрагмента

площади SGi

при условии, что диаметр

(длина максимальной диагонали

наибольшего фрагмента)

разбиения стремится к нулю.

Составим интегральную сумму

n

n

f (xi , yi ) SDi

f x ui ,vi , y

ui ,vi

J ui ,vi

SGi .

(16)

i 1

i 1

Кроме того, (16) можно записать в виде

n

n

f (xi , yi ) SDi

f x ui ,vi , y ui ,vi

J ui ,vi

ui vi .

(17)

i 1

i 1

Переходя к пределу при 0, получим

n

J ui ,vi

f (x(u,v), y(u,v))

lim f x ui ,vi , y ui ,vi

ui

vi

J

dudv .

0 i 1

G

(18)

n

f (x, y)dxdy получим

Учитывая, что

lim

f (xi

, yi ) SDi

0 i 1

D

f (x, y)dxdy f (x(u,v), y(u,v))

J u,v

dudv .

(19)

D

G

y

v

1

1

D

G

v u

v u

x

u

O

1

O

G

u,v

: -v u v;

0 v 1 .

1

1 dv v

1

1 vdv u2

v

uv

J

dudv

uvdu

0 .

2

4

v

G

0

v

0

координаты – пара чисел

, :

0 и 0 2

связаны с декартовыми

координатами соотношениями:

x cos

, y sin

,

(20)

y

x

2

y

2

,

arctg

.

(21)

x

y

y

M ,

x

x

Рис. 4.

С использованием полученных ранее результатов переход к

произвольной системе координат в двойном интеграле при взаимно однозначном

отображении x x(u,v) ,

y y(u,v) , наличии непрерывных

первых

производных данных функции

и якобиане не равном нулю, проводится по

формуле

f (x, y)dxdy f (x(u,v), y(u,v))

J u,v

dudv .

(22)

D

G