Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

439.71 Кб

Скачать

☆

Лекция 3. Вычисление длины дуги, заданной в декартовых координатах, параметрически и в полярных координатах. Вычисление объемов тел вращения.

Лекция 3

Приложения определенного интеграла (продолжение)

1.Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной в декартовых

координатах

Под длиной дуги, заданной непрерывной функцией f x на отрезкеa,b , будем понимать предел, к которому стремится длина ломаной линии,

вписанной в данную дугу, при условии, что длина наибольшего звена ломаной
неограниченно убывает, а число звеньев ломаной неограниченно возрастает.
Покажем, что длина дуги в заданных условиях для f x ,			непрерывно
дифференцируемой на интервале a,b , вычисляется по формуле:
b

L 1 f x 2 dx .			(1)

Рассмотрим некоторую непрерывную функцию, заданную на отрезке a,b , см. рис 1.

M 0						M n 1
						M n 1	M n
l						M3	M n
1						M3
1
M	1	l	M	2	l3		ln
	1	l	2	2			ln
			2

x0 a	x1	x2	x3	...... xn 1	b xn
Рис. 1.

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.


Разобьем отрезок a,b на n отрезков точками
	x0 a x1 x2 x3 ... xn 1 xn					b .	(2)
	Введем обозначения полученных отрезков
	xk xk		xk 1 ,		k 1, 2,3,..., n.		(3)
Поднимем высоты к графику функции					f (x) из точек	xk . В результате	на
графике получим соответствующие точки					M k . Соединим точки M k отрезками
прямых линий, длины которых обозначим как lk . Из рис. 1 видно, что

	lk			xk 2 yk 2 ,			(4)
где	yk	f xk f xk 1 .

Также можно получить, что

		y	2
lk	1		k	xk .
		xk

Составим интегральную сумму

n		y		2


Lл	1		k xk .
k 1		xk

Результатом суммы (7) является длина ломаной M0 M1M2 ...Mn

Пусть max xk .	Очевидно, что при 0					Lл L .
k
Таким образом,

	n		y		2
			y

	L lim	1	x	k xk .
	0 k 1		x
			k

(5)

(6)

(7)

Заметим, что по теореме Лагранжа	для функции, непрерывной на отрезке
xk 1, xk и дифференцируемой на	интервале	xk 1, xk ,	k xk 1, xk :

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

y k . При

0 и непрерывной производной

y k

на интервале

xk 1, xk

имеем

y k

y xk .

Тогда,

если функция f (x) непрерывно

дифференцируема на интервале a,b , получим

L lim

1 f xk 2

1 f x 2 dx .

(8)

k 1

Пример 1.

Вычислить длину графика функции y ln

на отрезке 1, 2

Решение:

ln x

dx .

arsh 2

ch2 t

arsh 2

sh t

sh t d

sh t

arsh 1

arsh 2

ch t

arsh 2

ch t

1 sh2

arsh 1

t 1

arsh 1

arsh 2

1 ch t

1 sh2 t

5 2

1 ch t

arsh 1

1 1 sh2 t

arsh 1

2 1, 222.

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

2. Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной параметрически

Теорема 1. Пусть некоторая кривая задана параметрически в виде:

t ,

x x

; y y

, где

a ,

b ;

a функции x t ,

y t имеют непрерывные первые производные x t ,

y t на

отрезке ,

Тогда длина дуги данной кривой на отрезке , может быть вычислена по формуле

x t 2

y t 2 dt .

(9)

Доказательство:

1 f x 2 dx .

Для доказательства будем использовать формулу

Пусть условия

существования производной

f x в

виде:

f x

y t

x t

x x

выполнены. То

есть на отрезке ,

для

функции

существует

обратная функция t Ф x на соответствующем отрезке a,b . Причем должно быть выполнено условие x t 0 t , .

		t	2				x (t) dt .
				d x t	x t 2	y t 2		(10)
1	y			d x t	x t 2	y t 2		(10)

x t							x (t)

Анализ полученной формулы (10) показывает, что даже при смене участков монотонности функции x x t на отрезке , (производная x t меняет

знак) возможна ситуация, когда в некоторой точке отрезка , x t 0 , так как неопределенность, связанная с делением на нуль устраняется.

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

Таким образом, для вычисления длины дуги функции, заданной параметрически, достаточно предъявить условие к непрерывности производных x t , y t на

отрезке , . В результате имеем формулу

x t 2

y t 2 dt .

(11)

Пример 2.

Вычислить

длину окружности

радиуса

R ,

используя

определенный

интеграл

уравнение

окружности

параметрическом виде:

x R cos

y Rsin

Решение:

R sin 2

R cos 2 d R d 2 R .

Заметим, что на отрезке

0, 2

функция

Rsin

меняла

знак в точках 0 и , причем в данных точкаx

x 0 0 ;

Несмотря на данное обстоятельство, длина окружности определена правильно.

3.Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной в полярных

координатах

Теорема 2. Пусть некоторая кривая задана в полярных координатах

на отрезке ,

функция

, имеет

непрерывную

производную

на отрезке

Тогда длина дуги данной кривой на отрезке

может быть вычислена по

формуле

L 2 2 d . (12)

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

Доказательство:

Для доказательства будем использовать формулу: L x t 2 y t 2 dt .

Имеем

cos

;

sin

;

x cos sin ;

			y					sin						cos			;

	x	2			2 cos2							2 sin2							sin		2	;

	y	2			2 sin2						2 cos2									sin	2	.

Откуда получим

							2 2 d .
					L		2 2 d .

Пример 3. Вычислить длину кардиоиды													1 cos					см. рис. 2.

										90
						150		120					60		30
								120					60

				( ) 180												0
				( ) 180						0			1		2	0


						210									330
						210									330
								240					300
								240	270				300
									270

Рис. 2.

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

Решение:

	2									2
	2		1 cos 2		sin 2 d					2
											1 cos d
L									2		1 cos d
	0								0
		2						2
								2

								4 2 .
	2 sin			d 2		2 cos		4 2 .
	0		2				2	0
	0		2				2	0

В решении использовалось следующее равенство

1 cos

x 0,2 .

sin

, так как sin

0 ,

	4. Вычисление объема тела вращения
Пусть некоторое		тело образовано вращением вокруг оси Ox
криволинейной трапеции,		ограниченной графиком непрерывной функции f x
и прямыми x a ,	x b,	y 0 см. рис. 3.
y
		f (x)
a		b	x
		b	x

Рис. 3.

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

Сечением данного тела в любой точке x a,b является круг радиуса

R x f x .

Площадь данного сечения будет равна

S x f 2

x .

Тогда

объем данного тела можно вычислить по формуле

f 2

x dx

x dx .

(13)

Пример 4.

Вычислить

объем

тела,

образованного вращением

функции

f x sin(x) на отрезке x 0, .

Решение:

1 cos

sin

V sin2 x dx

Замечание 1.

Если

тело

образовано

вращением

вокруг

оси

криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции f x ,

заданной на отрезке a,b ,

так как представлено на рис. 4.,

то вычисление

объема тела можно проводить по формуле,

инвариантной формуле (13)

g 2

y dy

y dy ,

(14)

где

x g y

функция,

заданная

на

соответствующем

отрезке

c d

с, d

, f

и обратная для

. Фактически,

в данном

случае, вращается вокруг оси

Oy криволинейная

трапеция,

ограниченная

функцией x g y , прямыми y c ,

y d ,

x 0.

Позже при изучении кратных интегралов будет показано, что объем

данного тела можно также вычислить по формуле

V 2 x

f (x) c

dx a2

f a f b

(15)

Доказательство:

Вычисляем тройной интеграл в цилиндрических координатах

V a2

f a f b

d d dz

f a f b

2 f

c d .

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

d y

f (x)

a	b	x

Рис. 4.

Пример 5. Вычислить объем тела, образованного вращением участка функции f x 1x , заданной на отрезке x 1, 2 , вокруг оси Oy .

Решение: (1 способ)

		1		1				1
		1		1				1
V						dy				.
V			y		2	dy	y			.
	0.5		y				y	0.5
	0.5							0.5
		(2 способ)
2	1			1					1		2	x
2	1			1					1		2	x
V 2 x						dx	1				2 1		dx		.
V 2 x						dx	1				2 1		dx		.
1	x 2								2		1	2		2 2 2	вокруг оси Oy
1	x 2								2		1	2		2 2 2
Замечание	2.					Если	тело				образовано			вращением

криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции f x ,

заданной на отрезке a,b , так как представлено на рис. 5., то вычисление объема тела можно проводить по формуле

b
V 2 x f (x) dx .	(16)

Фактически, в данном случае вращается вокруг оси Oy криволинейная трапеция, ограниченная функцией y f x , прямыми x a , x b , y 0.

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

f (x)

Рис. 5.

В данном случае в объем тела не входит объем внутреннего цилиндра радиусом a и высотой f a .

Доказательство: Вычисляем тройной интеграл в цилиндрических координатах

2	b	f	b
V d d dz 2 f d .
0	a	0	a

Пример 6. Вычислить объем тела, образованного вращением криволинейной

трапеции, ограниченной функцией	f x		1	, прямыми	x 1;	x 2 ;	y 0
трапеции, ограниченной функцией	f x		x	, прямыми	x 1;	x 2 ;	y 0
вокруг оси Oy .
Решение:
2	1
2
V 2 x		dx 2 .
V 2 x	x	dx 2 .
1	x
1

Рекомендуемая литература: Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Лекции и практикум: Учебное пособие/Под общ. Ред. И.М. Петрушко. – СПб: Издательство “Лань”, 2006. – 608 с.

Стаценко И.В. Лекция 3. Определенный интеграл.

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024449.15 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024456.02 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024416.26 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024440.3 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024440.55 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024439.71 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024456.92 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024435.65 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024384.5 Кб0Лекция 6-7.pdf
#
16.05.2024459.54 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024449.5 Кб0Лекция 7.pdf