ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 2

Теорема

1.

Если

функция

f x , непрерывна

на

отрезке a,b ,

а

функция

x t непрерывна на t0 ,t1 :

a t0 ,b t1 и имеет на этом отрезке

непрерывную производную t , то

b

t1

f

x

dx

f

t

t

dt .

(1)

a

t0

Доказательство: Если F x

- какая-нибудь первообразная для

f x , то

b

f x dx F b F a .

a

Рассмотрим функцию F x

как сложную функцию F t , тогда

d

F

t

F x t f

t

t

.

dt

Учитывая последнее выражение, можно написать

t1

1

0

b

f

t

t

dt F

t

F

t

F

b

F

a

f

x dx .

t0

a

2

Пример 1.

Вычислить интеграл

x

dx .

x2

1

1

Решение:

t ,

x

t

2

4

1 4

x

1

t

1 dt

dt

1

4

1

5

t

dx

,

ln

t

1

ln

.

1 x

2

1

2 1

1

1

2 t

t 1 2

t

t

1 2

2

2

t0 1,

t1 4.

b

b

u

x

uv

a

v

x

du

x

.

(2)

x dv

b

a

a

Доказательство:

Введем обозначения:

F(x) u x v x .

Применяя формулу Ньютона-Лейбница для

непрерывной на отрезке a,b

функции

f (x) u x v x u x v x получим

b

b

u x v(x) u(x)v (x) dx u x v(x) dx u x v(x)

ba .

a

a

Откуда получим формулу (10)

b

b

b

b

ba .

u x v(x)dx u(x)v (x)dx v(x)du u(x)dv u x

v(x)

a

a

a

a

2

Пример 3. Вычислить интеграл x ln xdx .

1

Решение:

u ln x

du

dx

2

2

x

x

2

ln x

1

2

3

x ln xdx

xdx 2ln 2

.

dv xdx

1

2

1

2

1

4

v

x2

2

Стаценко И.В. Лекция 2. Определенный интеграл.

y

y f2

x

0

a

b

x

задана фигура, площадь фигуры ограничена снизу одной непрерывной кривой

f1 x , сверху – одной непрерывной кривой

f2 x ;

любая прямая x x0

пересекает контур фигуры не более чем в двух точках.

Докажем, что для вычисления фигуры, представленной на рис.1,

справедлива формула

S b f2 x f1 x dx .

(3)

a

b

b

b

S f2

x dx f1

x dx f2

x f1 x dx .

(4)

a

a

a

5

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y x , гиперболой

y 1 и прямой x 2 (см. рис.2).

x

5

4.5

4

3.5

3

f1(x)

f2(x)2.5

2

1.5

1

S

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

Рис. 2.

Решение:

Прямая

y x и гипербола y

1

пересекаются в точке

x 1 при

x

этом, на отрезке

1, 2

прямая проходит выше гиперболы, тогда

2

1

x2

2

1

1,5

ln 2 .

S x

dx

ln x

2 ln 2

1

x

2

1

2

Примечание: Если фигура имеет сложную форму, ее следует предварительно

прямыми, параллельными оси Oy , разбить на конечное число простых фигур,

после чего применять формулу (3).

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми f1 x x 1,

f2 x x 1,

f3 x x 1 , f4 x x 2 (см. рис.3).

2

1.8

1.6

f1( x) 1.4

f2( x) 1.2

f3( x)

1

f4( x) 0.8

S

0.6

0.4

0.2

0

0.5

1

1.5

2

x

Рис. 3.

Снизу фигура площади

S ограничена двумя разными функциями, также

x 0,5

и x 1. Тогда