Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 16

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

391.73 Кб

Скачать

☆

Лекция 16. Интегрирование иррациональных функций. “Неберущиеся” интегралы.

Лекция 16

Интегрирование иррациональных функций

Интегралы вида

ax b n1

ax b n2

b nk

,...,

dx ,

(1)

cx d

где R x1, x2 , x3 ,..., xk 1 - рациональная функция от k 1 аргументов.

Данные интегралы берутся заменой переменной

t s

ax b

cx d

где

s - наименьшее общее кратное чисел: n1, n2 , n3 ,..., n k .

Пример 1.

t2t5

3 x

x x x

dx 6t

1 t

dt 6

t 1

dt 6

t ln

t 1

1 t

6 x

6 x ln

6 x 1

C .

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

Пример 2.

2x 1

;

4x 1

2x 1

4x 1

dt.

1 2t

Промежуточные выкладки 1

	2	2x 1	1	4x 2	1 4x 1	1	1		1
t								1
t		4x 1	2			4x 1		1
		4x 1	2	4x 1	2 4x 1	4x 1	2		4x 1

2t	2	1			1					4x 1							1							1			1 t		2							t
	2				1				;								1			;			x	1			1 t				; dx					t				dt
																	2
				4x												2t														2
																								2			1 2t			2								2	2
						1													1					2			1 2t							1		2t		2
																																		1		2t

																												1	t
																												1
			t 2									1				t						1

																												2
								dt																	ln							C .
							2											2										1
							2											2
			1 2t 2									4	1		2t							2 2
																													t
																												2	t
																												2


																	Промежуточные выкладки 2

												u			1
															1



														1 2t2					1
			1														4tdt									t							t 2
								dt			du																		4								dt
			1 2t				1	dt			du				1 2t						2							2	4				1 2t			2	dt
			1 2t		2										1 2t				2														1 2t		2
					2														2					1 2t											2
																								1 2t
												v t



Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

Промежуточные выкладки 3

	t	2						1			t						1
	t					dt		1			t						1					dt
					2	dt								2						1		dt
			2					4		1 2t									2
	1 2t															1	2t



																				1			t


	1						1				1					1

																					2
				dt											dt			ln						C
			1										1							1			t
			1										1
	2t	2					2		1							2	2
1	2t										t	2
																					2
									2

Интегралы вида

R x,

dx ,

ax2 bx c

(2)

где

R x1, x2 - рациональная функция от двух

аргументов, берутся выделением

полного квадрата в квадратном трехчлене:

R x,

c dx R x,

dx .

a x

a 4a

Пусть x

u ;

v . Тогда

R x, ax

bx c dx R u

, a

du .

(3)

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

В результате данной замены интеграл сводится к одному из трех видов:

R x,

bx c dx R u

a u

du ;

R x,

bx c dx R u

a u

du ;

			b
	2					2		2
	2					2		2
R x, ax		bx c dx R u		,	a v		u		du
R x, ax		bx c dx R u		,	a v		u		du
			2a

2.1.Интегралы вида

R x,

bx c dx R u

, a

du .

(4)

берутся заменой переменной u v tg(t)

или u v sh(t) .

Пример 3.

x2 4x 5dx x2 4x 4 1dx x 2 2 1dx

Способ 1

u tg(t)

x 2 2 1d x 2

u2 1du

cos2 t

cos(t)dt

d sin(t)

tg 2 t 1

cos

sin

1 z

C .

1 z

2 1 z

1 z

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

Промежуточные выкладки

			u			1		,

							1
						z2
				1		z2
															2							1 z	2	1 dz
dz						2z						z			2	dz			z
dz			du			2z				,		z		2	z	dz			z		2
	2	1	du				2		2	,			2	2			2	2		2	2				2	2
											1	z						1	z
1 z					1 z						1	z			1 z			1	z			1 z
1 z					1 z										1 z							1 z
			z v.

z		2z 2		dz		.
1 z	2	2z 2		2	2	.
1 z			1	z
			1	z

Способ 2
				u sh(t),
				u sh(t),

u2 1du				du ch t dt,							sh2 t 1ch t dt ch2 t dt
				t arsh(u).
	ch	2t	1			1	sh		2t				1	sh	2	arsh(x 2)
					dt	1				t		C	1				t	C .
		2			dt	2		2		t		C	2			2	t	C .
		2				2		2					2			2

Использовались следующие свойства гиперболических функций:

ch2 t s h2 t 1;
ch 2t ch2 t s h2 t ;	ch 2t 2ch2 t 1;	ch2 t	ch 2t 1	.

		2

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

2.2.Интегралы вида

R x,

bx c dx R u

, a

du .

(5)

берутся заменой переменной u v sin(t)

или u v th(t) .

Пример 4.

x2 4x 5dx x2 4x 4 9dx x 2 2 9dx

		u 3sin(t),
x 2 2 9d x 2
x 2 2 9d x 2	32 u2 du	du 3cos(t)dt,
		u
		t arcsin
		t arcsin
		3

				cos(2t) 1		dt
3	32 32 sin2 (t) cos(t)dt 9	cos2	t dt 9	cos(2t) 1
3	32 32 sin2 (t) cos(t)dt 9	cos2	t dt 9
					2
					2

												x 2
				sin 2t					sin	2	arcsin
									sin	2	arcsin
cos(2t) 1			9					9				3	t
9		dt				t	C							C.
9		dt				t	C							C.
	2		2		2			2				2

2.3.Интегралы вида

R x,

bx c dx

R u

, a

du .

(5)

берутся заменой переменной u

или u v ch(t) .

cos(t)

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

Пример 5.

x2 4x 5dx x2 4x 4 9dx x 2 2 9dx

cos t

3sin(t)

dt,

x 2 2 9d x 2

cos2 t

t arccos

sin t

sin

dt 9

d sin(t)

cos2 t

cos3 t

cos4 t

sin2 t

d sin(t) 9

sin2 t

d sin(t) 9

cos

1 sin

9 z

1 z

sin(t)

1 sin(t)

t arccos

sin

1 sin(t)


			u			1		,
						1

							1
						z 2
				1		z 2
dz			du			2z				,		z		2		z 2 dz
	2	1	du				2		2	,			2	2			2	2
											1	z
1 z					1 z						1	z			1	z
1 z					1 z										1	z
			z v.

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

3.“Неберущиеся” интегралы

3.1. Интегралы вида R x,		dx , где Pn (x) - многочлен
3.1. Интегралы вида R x,	Pn (x)	dx , где Pn (x) - многочлен
n ой степени.

Данные интегралы можно найти в элементарных функциях для случаев n 1, n 2. Для случаев n 3интегралы, как правило, не берутся в элементарных функциях.

Пример 6.

x3 1 dx не берется в элементарных функциях.

Пример 7. (Исключение из общего правила)

x2 x3 1 dx 13 x3 1 d x3 1 92 x3 1 3 C .

3.2. Интегралы вида xm a bxn p dx (дифференциальный бином), где m, n, p - рациональные числа.

Данные интегралы можно найти в элементарных функциях в следующих трех случаях:

p - целое число;

m 1

- целое число;

m 1 p - целое число. n

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

Пример 8.

									1								1			1							1		1
									1								1			1							1		1
x 3 1 x3 dx x2 3													1		dx			3					1		dx3			3				1	dt
x 3 1 x3 dx x2 3								x3					1		dx		3	3		x3			1		dx3		3	3		t		1	dt


					z 3				t 1
					z 3						t
											t
					z3		t 1
																					z3
											t
	1		t 1								t																	1			dz					z
		3		dt					1																	dz											.
	3	3	t	dt					1												3			2		dz		3			3		1	z	3		.
	3		t		t														z			1						3		z		1		z		1
					t	z	3			1									z			1								z		1
						z				1
					dt							3z2dz
					dt							z3				2

														1

z3 1

dz .

z3 1

v z

		1		1				1		dz		z 2 dz
		1	dz	1			dz	1		dz		z 2 dz
			dz				dz		z			z2 z 1
z	3	1		z 1 z	2			3	z		1	z2 z 1
z		1		z 1 z		z 1

1				z 0,5			1,5 dz		1	ln		z 1	1	ln		2

	ln	z 1													z 0,5		0,75
	ln	z 1													z 0,5		0,75
				z 0,5	2
3					2				3		2
3						0,75			3		2
	1	1,5		z 0,5
			arctg					C .
			arctg					C .
	3	0,75		0,75
	3	0,75		0,75

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

3.3.Известные “неберущиеся” интегралы

sin(x)

dx ;

cos(x)

dx ;

n N ;

(6)

e x

dx ;

n N ;

(7)

ex2 dx ;

e x2 dx ;

(8)

sin

dx ;

cos

dx ;

(9)

(10)

ln(x)

Стаценко И.В. Лекция 16. Интегральное исчисление.

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024483.36 Кб0Лекция 11.pdf
#
16.05.2024477.32 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024265.24 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024278.18 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024394.75 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024391.73 Кб0Лекция 16.pdf
#
16.05.2024339.63 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024466.92 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024433.83 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024464.85 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024468.6 Кб0Лекция 6.pdf