Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 15

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

394.75 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 15. Рациональные функции от тригонометрических аргументов. Универсальная тригонометрическая подстановка. Частные случаи интегрирования функции от тригонометрических аргументов. Интегралы от некоторых нерациональных функций тригонометрических аргументов

Лекция 15

Интегрирование тригонометрических функций

1. Рациональные функции от тригонометрических аргументов

Определение 1. (Рациональная функция двух переменных)
Функция f (x, y) вида
	f x, y	Pm x, y
			,	(1)
		Qn x, y
где Pm x, y ,	Qn x, y многочлены двух переменных степеней			m и n с

действительными коэффициентами, называется рациональной функцией двух переменных.

										0				1
Пример 1.	Представить в развернутом виде многочлен P										x, y		,	P	x, y	,
P2 x, y .
Решение:
					P0 (x, y) a0 ;
		P (x, y) a a x a y ,						a 2	a 2	0 ;
		1		0	1	2		1	2
P (x, y) a a x a y a xy a x2							a y2	,	a 2 a 2 a 2			0		;
2	0	1	2	3		4	5		3	4	5

где ai const .

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

Определение 2. (Рациональная функция с аргументами sin(x) , cos(x) )

Функция f (sin(x),cos(x)) вида


	f sin(x),cos(x)		Pm sin(x),cos(x)
				,	(2)
			Qn sin(x),cos(x)
где	Pm sin(x),cos(x) ,	Qn sin(x),cos(x) многочлены двух переменных
sin(x)	и cos(x) степеней m ,		n с действительными коэффициентами,

называется рациональной функцией с тригонометрическими аргументами.

Пример 2. (Рациональная функция с двумя тригонометрическими аргументами)


	2sin(x)	P		sin(x),cos(x)
f sin(x),cos(x)		1
					.
	3sin2 (x) 4cos(x)	Q2	sin(x),cos(x)

2.Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП)

Рассмотрим интеграл


	f		sin(x),cos(x) dx .	(3)

Интеграл от рациональной функции двух тригонометрических аргументов всегда можно свести к интегралу от рациональной функции одного аргумента с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Под универсальной тригонометрической подстановкой понимают замену переменной следующего вида:

x			x , ,
t tg		,		(4)
	2

Откуда можно получить
sin(x)	2t		cos(x)	1	t 2		dx	2dt
		;				;			.	(5)
	1 t2			1	t 2			1 t 2

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

Доказательство (справедливости формул (5))

						sin		2		x
				x

t	2	tg	2							2
t		tg								x
				2		cos			2	x
						cos
										2
			t 2			1					1

					cos	2	x
						2	x


							2

1 cos			2	x
									1

				2									1;
cos	2	x					cos		2	x			1;


				2						2
cos					2	x				1		;

										t	2
						2		1		t

(6)

(7)

cos 2x cos2 x sin2 x 2cos2 x 1					cos2 x	1 cos 2x	;
cos 2x cos2 x sin2 x 2cos2 x 1					cos2 x	2	;
						2
cos	2	x	1 cos x	.		(8)


		2	2

Подставив (8) в (7) получим

		cos(x)		1 t 2			.				(9)
		cos(x)		1 t 2			.				(9)

Далее используя sin(x)	1 cos2 x ,				получим

sin(x) 1 1 t2 2								2t		.	(10)
sin(x) 1 1 t2 2										.	(10)
					2	2	1	t	2
			1 t		2
										x
Для замены дифференциала dx получим обратную функцию для t tg											:
											:
										2
		x 2arctg(t) .									(11)

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

Откуда

dx	2dt
dx	1 t 2 .	(12)

Пример 3. Найти

2sin(x) cos(x)

Решение:

sin(x)

; cos(x)

1 t 2

2dt

Применяем УТП:

;

1 t2

1 t 2

2dt

1 t

5 t 2

2sin(x) cos(x)

4t 1

1 t2

5 tg

5 t 2

C .

5 t 2

5 tg

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

3. Частные случаи интегрирования рациональной функции от двух тригонометрических аргументов

3.1.Интегралы вида f sin(x) cos(x)dx , f cos(x) sin( x)dx

Интегралы f sin(x) cos(x)dx берутся подведением функции cos(x) под знак

дифференциала,

а интегралы

f cos(x) sin(x)dx берутся подведением

функции sin(x) под знак дифференциала.

Пример 4. Найти

cos(x)dx

2sin(x) 1

Решение:

cos(x)dx

d sin(x)

2sin(x) 1

C .

2sin(x) 1

Пример 5. Найти

sin(x)dx

cos

x cos(x)

Решение:

	sin(x)dx		d cos(x)

	cos2 x cos(x)		cos2 x cos(x)

dt ln

t 1

t t 1

t 1

1 cos(x)

C .

cos(x)

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

3.2.Интегралы вида f sin2 (x),cos2 (x) dx

sin2 (x),cos2

Интегралы

(x) dx берутся заменой переменной

t tg x ,

(13)

Откуда можно получить:

sin

2 (x)

t 2

;

cos

2 (x)

;

(14)

t 2

1 t 2

Доказательство:

t	2	tg	2	x	sin2 x		1 cos2 x
					cos2 x		cos2 x

Откуда следует:

1	1.	(15)
cos2 x

cos2 x	1
cos2 x	1 t 2 .	(16)

Тогда

sin2 x 1 cos2 t 1	1		t2	.	(17)
	t2		t2
1		1

Кроме того, x arctg t , тогда	dx	dt	.
		t 2
	1

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

Пример 6.

Найти

cos

x 2sin

(x)

Решение:

1 t

arctg

2t C

cos

x 2sin

(x)

1 t2

arctg

tg(x) C .

3.3. Интегралы вида

sinт (x),cosn (x) dx

или

sinn (x),cosm (x) dx ,

где

n - нечетное число (положительное или отрицательное)

Для случая

нечетное

число

(положительное

или

отрицательное)

интегралы

sinт (x),cosn (x) dx

берутся подведением функции cos(x) под

знак дифференциала;

а интегралы

sinn (x),cosm (x) dx

берутся

подведением функции sin(x) под знак дифференциала.

Пример 7.

Найти

cos(x)sin

Решение:

cos(x)dx

d sin(x)

cos(x)sin2

cos2 (x)sin2 x

1 sin2 x sin2 x

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

											8
	dt				1	1			1			1 t	1			1		1 sin(x)	1
	dt				1	1			1			1 t	1			1		1 sin(x)	1
								dt		ln					C		ln				C.
	t	2	t	2	1 t 2		t 2	dt	2	ln		1 t		t	C	2	ln	1 sin(x)		sin(x)	C.

1

Пример 8.

Найти

sin(x)

Решение:

(1 способ)

sin(x)dx

d cos(x)

1 cos(x)

C .

sin(x)

sin

(x)

cos

(x)

1 cos(x)

Решение: (2 способ: УТП)

2dt

1 t

C ln

C .

sin(x)

1 t2

Из рассмотренного примера также следует, что

1 cos(x)

Доказательство:

1 t2

2t2

1 cos(x)

1 t2

1 cos(x)

1 t2

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

3.4.

Интегралы вида

sinт (x),cosn (x) dx ,

где

m, n - четные

неотрицательные числа.

Для случая

m, n

четные

неотрицательные числа

интегралы

sinт (x),cosn (x) dx

берутся понижением степени косинуса (синуса) с

использованием формул:

cos2 x

1 cos(2x)

;

sin2 x

1 cos(2x)

;

1 cos(2x) 2

1 2cos(2x) cos

cos

sin4 x

Пример 9. Найти

Решение:

	1					1 cos(4x)
		1	2cos(2x)				.
	4	1	2cos(2x)			2	.
	4					2
1 cos(2x) 2				1	1			2	2x
						2cos(2x) cos
		2		4		2cos(2x) cos
		2		4
	1					1 cos(4x)
		1	2cos(2x)				.
	4	1	2cos(2x)			2	.
	4					2

cos4 x dx .

1			1 cos(4x)		1		1		sin(4x)
	1	2cos(2x)		dx		x sin(2x)		x		C .
4	1	2cos(2x)		dx		x sin(2x)		x		C .
4			2		4		2		8

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.


3.5. Интегралы вида		f		sinт (x),cosn (x) dx , где	m, n - четные числа и

хотя бы одно из них отрицательно.

Для

данного

случая

интегралы

sinт (x),cosn (x) dx

берутся

подстановкой t tg x

и,

соответственно,

sin2 (x)

t 2

;

cos2 (x)

;

t 2

1 t 2

Пример 10.

Найти

cos

Решение:

dtg(x)

1 t2 dt t

cos4 x

cos2

x cos2

cos2 x

tg x tg3 x C .

Стаценко И.В. Лекция 15. Интегральное исчисление.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024484.06 Кб0Лекция 10.pdf
#
16.05.2024483.36 Кб0Лекция 11.pdf
#
16.05.2024477.32 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024265.24 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024278.18 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024394.75 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024391.73 Кб0Лекция 16.pdf
#
16.05.2024339.63 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024466.92 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024433.83 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024464.85 Кб0Лекция 5.pdf