ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 14
.pdf1
Лекция 14. Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на простейшие и примеры интегрирования простейших дробей.
Лекция 14
Интегрирование рациональных дробей
|
1. Рациональные дроби |
|
||
Определение 1. (Рациональная дробь) |
|
|||
Функция f (x) вида |
|
|||
|
f (x) = |
Pm (x) |
|
|
|
|
, |
(1) |
|
|
Qn (x) |
|||
где |
|
|
|
|
|
Pm (x) = am xm + am−1xm−1 + am−2 xm−2 + ... + a1x + a0 , |
(2) |
||
|
Qn (x) = bn xn + bn−1xn−1 + bn−2 xn−2 + ... + b1x + b0 , |
(3) |
||
Pm |
(x) - многочлен степени m c действительными коэффициентами; |
|
||
Qn |
(x) - многочлен степени n c действительными коэффициентами. |
|
Определение 2. (Правильная (неправильная) дробь)
Рациональная дробь называется правильной, если m n ; рациональная дробь называется неправильной, если m n .
Замечание 1.
Неправильную дробь можно привести к правильному виду делением многочлена Pm (x) на Qn (x)в столбик с выделением целой части.
Пример 1.
x3
Привести дробь к правильному виду.
x2 +1
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
2
Решение:
− |
x3 |
x2 +1 |
x3 + x |
1 |
|
|
|
x |
|
−x |
|
Получим в итоге:
x3 = x − x . x2 +1 x2 +1
2. Разложение рациональных дробей на простейшие и примеры интегрирования простейших дробей
2.1.Разложение квадратного трехчлена на множители
Рассмотрим квадратный трехчлен в виде:
|
|
|
Q2 (x) = b2 x2 + b1x + b0 . |
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||
Корни трехчлена найдем по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−b + b 2 − 4b b |
|
|
|
|
−b − b 2 |
− 4b b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = |
1 |
1 |
|
2 |
0 |
; |
x = |
1 |
1 |
2 |
0 |
. |
(5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
2b2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В случае D 0 |
корни x1, x2 |
образуют, так называемую действительную пару |
||||||||||||||||||
корней квадратного трехчлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В случае, если D = b 2 |
− 4b b |
0 |
0 запишем дискриминант в виде |
D = i2 |
|
D |
|
, |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 = −1, |
|
|
|
|
|
|
(6) |
i - мнимая единица.
Тогда корни квадратного трехчлена в случае D 0 можно находить по формуле
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
3
|
|
|
|
|
|
|
|
−b + i |
b 2 − 4b b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−b − i |
b 2 |
− 4b b |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
x1 = |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
; |
|
|
x2 = |
|
1 |
1 |
2 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2b2 |
|
|
|
|
|
|
2b2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В случае |
D 0 |
|
корни x1, x2 |
называют комплексными и они образуют, так |
|||||||||||||||||||||||||||
называемую комплексно-сопряженную пару корней квадратного трехчлена. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти корни квадратного трехчлена |
|
|
x2 + 6x +10 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 + i2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
= |
−6 + −4 |
= |
= |
−6 + i 4 |
= −3 |
+ i ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 − i2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
= |
−6 − −4 |
= |
= |
−6 − i 4 |
= −3 |
− i . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя следствие из теоремы Безу, квадратный трехчлен можно разложить на следующие множители:
b2 x2 + b1 x + b0 = b2 (x − x1 )(x − x2 ), |
(7) |
где
x1, x2 - корни квадратного трехчлена.
Пример 3.
Разложить на множители квадратный трехчлен x2 + 6x +10 .
Решение:
x2 + 6x +10 = (x − (−3 + i))(x − (−3 − i )).
Проверка:
(x + (3 − i))(x + (3 + i)) = x2 + (3 + i)x + (3 − i)x + (32 − i2 )= x2 + 6x +10.
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
4
Замечание 2. Корни квадратного трехчлена образуют либо действительную пару, либо комплексно-сопряженную пару.
Замечание 3. В случае D = 0 полагают, что квадратный трехчлен имеет два одинаковых корня или один корень кратности 2.
2.2. Разложение многочлена n степени на множители |
|
Рассмотрим многочлен n - ой степени |
|
Qn (x) = bn xn + bn−1xn−1 + bn−2 xn−2 + ... + b1x + b0 , |
(8) |
где - b0 ,b1,b2 ,...,bn действительные числа.
Используя следствие из теоремы Безу, данный многочлен можно разложить на следующие множители:
Qn (x) = bn (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )...(x − xn ) , |
(9) |
где
x1, x2 , x3 ,..., xn - корни многочлена.
Если n - четное число, многочлен может иметь:
- |
|
|
n |
|
пар только действительных или только комплексно-сопряженных |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
корней; |
|
|
|||||
- |
|
n1 |
|
пар действительных и |
n2 |
пар комплексно-сопряженных корней, где |
||
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
n = n1 + n2 .
Если n - нечетное число, многочлен всегда имеет хотя бы один действительный корень, тогда
Qn (x) = (x − x *)Wn−1 (x), |
(9) |
где
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
5
x * - какой-нибудь действительный корень многочлена, Wn−1 (x) - многочлен четной n −1степени.
Пример 4.
x4 + 4x3 + 6x2 + 4x +1 = (x +1)(x +1)(x +1)(x +1) =
=(x +1)4 = (x2 + 2x +1)(x2 + 2x +1) = (x2 + 2x +1)2 .
Вданном случае в разложении многочлена присутствует четыре действительных корня x = −1 или один корень кратности 4.
Пример 5.
x4 +1 = x4 + 2x2 +1− 2x2 = (x2 +1)2 − 2x2 =
= (x2 − 2x +1)(x2 + 2x +1)=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 + i 2 |
− 2 − i 2 |
|||||||||||
= x − |
2 |
|
x − |
2 |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−
2 + i2 x 2
− 2 − i 22
В данном случае в разложении многочлена присутствует две комплексносопряженных пары корней, перечисленных в скобках последнего разложения.
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1+ i |
3 |
−1− i |
3 |
|||||||
x3 −1 = (x −1)(x2 + x +1)= (x −1) x − |
2 |
|
|
x − |
2 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае в разложении многочлена присутствует один действительный корень и одна комплексно-сопряженная пара корней, перечисленные в скобках последнего разложения.
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
6
2.3.Разложение рациональной дроби на простейшие дроби и примеры
интегрирования простейших дробей
Рассмотрим рациональную дробь в виде
f (x) = |
Pm (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Qn (x) |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
Pm (x) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
bn (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn1 )(x2 + p1x + q1 )(x2 + p2 x + q2 )... x2 |
+ pn2 |
x + qn2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
где n = n + n , |
x R, |
j 1, n , |
D = p |
2 − 4q 0, |
i |
1, |
n2 |
. |
|||
|
|||||||||||
1 |
2 |
j |
|
1 |
i |
i |
i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 1. |
Рассмотрим правильную |
(m n) рациональную дробь. |
Если все |
корни знаменателя кратности 1 (простые корни), то исходная дробь представима в виде
|
|
|
|
Pm (x) |
|
A |
+ |
A |
|
+ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
An |
) + |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Qn (x) = |
|
(x − x1 ) |
(x − x2 ) |
(x − x3 ) |
+... + (x − xn1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1x + C1 |
|
|
|
|
B2 x + C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bn x + Cn |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(10) |
|||
|
|
(x2 + p1 x + q1 ) |
(x2 + p 2 x + q2 ) |
|
|
|
2 |
+ p n |
x + qn |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||
A |
, |
B , |
C − const |
, |
|
|
j 1, n |
|
, |
|
i |
1, |
n2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
j |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
7
Теорема 2. |
|
Рассмотрим правильную |
(m n) рациональную дробь. |
Если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
какой-либо |
действительный корень x* или |
|
комплексно-сопряженная |
пара |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + p |
* |
x + q знаменателя кратности k , то к разложению простых корней (10) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
добавляются следующие разложения кратных корней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Случай кратного действительного корня x* : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Pm (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=W + |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
+... + |
|
k |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Qn−k (x)(x − x* )k |
(x − x* ) |
(x − x* )2 |
(x − x* )3 |
(x − x* )k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
Случай кратной комплексно-сопряженной пары x2 + p |
* |
x + q : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pm |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
x +V |
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
x +V |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= W + |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
+ ... |
|
|||||||||||||
|
Qn−2k (x)(x2 + p* x + q* )k |
(x2 + p* x + q* )1 |
(x2 + p* x + q* )2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
... + |
|
|
|
Uk x +Vk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
||||||||||||
(x2 + p* x + q* )k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где |
|
|
W - разложение вида (10) для всех простых корней данной дроби, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D , |
U |
i |
, |
V − const , |
i 1, k |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 7. |
Разложить на простейшие дробь |
|
|
|
|
|
x2 |
|
, после чего найти |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 5x + 6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 + 5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
=1− |
|
5x + 6 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 + 5x + 6 |
x2 + 5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
5x + 6 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
Ax + 3A + Bx + 2B |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
= |
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + 5x + 6 |
(x + 2)(x + 3) |
x + 2 |
x + 3 |
|
|
(x + 2)(x + 3) |
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
8
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в исходном числителе и последнем полученном, имеем
|
3A + 2B = 6, |
|
|
A = −4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A |
+ B = |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
B |
= 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5x + 6 |
|
|
= |
|
9 |
|
|
− |
|
|
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 + 5x + 6 |
x + 3 |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
=1− |
|
|
|
5x + 6 |
=1− |
|
|
9 |
+ |
|
|
|
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 + 5x + 6 |
x2 + 5x + 6 |
|
|
x + 3 |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dx = x − 9ln |
x + 3 |
+ 4ln |
x + 2 |
+ C . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
+ 5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
x + |
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 8. |
Разложить на простейшие дробь |
|
|
|
, после чего найти |
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 −1 |
x3 −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
Bx + C |
|
|
|
|
Ax2 |
+ Ax + A + Bx2 − Bx + Cx − C |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
3 |
|
|
( |
|
)( |
|
2 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
)( |
2 |
) |
|
|||||||||||||||||
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x −1 x + x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
x −1 x + x +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в исходном числителе и последнем полученном, имеем
A − C = 0,
A − B + C = 0,A + B =1.
|
|
1 |
|
|
|
A = |
|
, |
|
|
3 |
|||
|
|
|
||
|
2 |
|
||
|
|
|
||
|
B = |
|
, |
|
3 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
С = |
|
. |
|
|
3 |
|||
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
9
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x3 −1 |
|
(x −1)(x2 + x |
+1) |
|
3 |
x −1 |
|
|
|
|
(x2 + x +1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2x +1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
ln |
x |
−1 |
+ |
|
|
|
dx = |
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x −1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 (x + x +1) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x −1 (x + x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
ln |
|
x −1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
d (x2 |
+ x +1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
( |
x |
2 |
+ x + |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
ln |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
ln |
x −1 |
+ |
|
ln |
x2 |
+ x +1 |
+ C = |
|
−1 |
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ решения задачи (без разложения дроби на простейшие)
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
(x3 ) = |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
(x3 |
−1) = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
d |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||||||||
x |
3 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
3 |
|
x |
3 |
|
|
3 |
|
x |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 3 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
ln |
x3 |
−1 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 9. Разложить на простейшие дробь |
|
|
, после чего найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
2 |
(x +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
x −1 2 |
(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
= |
|
|
A |
|
+ |
|
B |
|
|
|
+ |
|
|
C |
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x +1) |
(x −1) |
(x −1)2 |
|
(x +1) |
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.
10
= Ax2 − A + Bx + B + Cx2 − C2x + C .
(x −1)2 (x +1)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в исходном числителе и последнем полученном, имеем
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
A = |
|
, |
||
−A + B + C =1, |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
B − 2C =1, |
|
B = |
|
, |
||
4 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
A + C =1. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
С = |
|
|
. |
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
= |
1 |
|
3 |
+ |
6 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
(x −1)2 (x + |
|
|
|
(x −1)2 |
|
|||||
1) |
|
4 |
|
(x −1) |
|
|
(x +1) |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
3 |
|
dx + 6 |
|
|
dx + |
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
(x +1) |
||||||||
|
(x −1)2 (x + |
1) |
|
4 |
|
(x −1) |
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
dx + 6 |
|
|
dx + |
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
(x +1) |
|||||||
4 |
|
(x −1) |
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
3ln |
x −1 |
− |
|
|
+ ln |
|
x +1 |
|
+ C . |
|
4 |
x −1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 14. Интегральное исчисление.