ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 13

оси Ox ,

если во всех точках промежутка D выполняется условие

F (x) = f (x).

(1)

Пример 1.

F (x) =

x2

f (x) = x x R ,

-

первообразная для функции

так как

2

x

2

= x .

2

Пример 2.

F(x) = −cos(x) - первообразная для функции

f (x) = sin(x)

x R ,

так

как

(−cos(x)) = sin(x) .

Пример 3.

F(x) = arcsin(x)

-

первообразная

для

функции

f (x) =

1

− x2

(

)

1

x

−1, 1 ,

так как

(arcsin(x)) =

1

.

− x2

1

F(x) + С ,

(2)

где С - произвольная постоянная, является первообразной для функции

f (x) на

промежутке D .

Доказательство:

F (x) = f (x) и

F (x) = f (x) .

(3)

1

Таким образом,

F1 (x) = (F (x)+ C ) = f (x) .

Определение 2.

(Неопределенный интеграл)

Выражение

F(x) + С ,

где F(x) какая-нибудь

первообразная для

функции f (x)

на промежутке D оси Ox , а

C − const называется

неопределенным интегралом от

f (x) и обозначается

F (x) + С = f (x)dx .

(4)

Функция

f (x) ,

находящаяся под

знаком интеграла

f (x)dx ,

называется подынтегральной функцией, а

величина f (x)dx

называется

подынтегральным выражением.

Пример 4. Найти интеграл

cos(3x)dx .

Решение:

cos(3x)dx =

1

sin(3x) + C ,

3

1

так как

sin(3x) + C

= cos(3x) .

3

Пример 5. Найти интеграл

xex2 dx .

Решение:

xe

x2

dx =

1

e

x2

+ C ,

2

1

x2

x2

так как

e

+ C = xe

.

2

Пример 6. Найти интеграл

ex2 dx .

Решение:

ex2 dx не существует в элементарных функциях.

Не

для

всякой непрерывной

в промежутке D оси Ox элементарной

функции

существует первообразная в элементарных функциях. В то время, как

1.

xa dx =

xa+1

+ C,

a −1.

a +1

x

2.

1

dx = ln

x

+ C.

3.

ax dx =

ax

+ C,

a 0, a 0 .

ln(a)

4.

ex dx = ex

+ C.

5.

cos(x)dx = sin(x) + C.

6.

sin(x)dx = −cos(x) + C.

1

dx = tg(x) + C.

7.

cos2 (x)

1

dx = −ctg(x) + C.

8.

sin2 (x)

9.

1

x

x

dx = arcsin

+ C = −arccos

+ C1, a 0.

a2 − x2

a

a

10.

1

1

x

1

x

dx =

arctg

+ C = −

arcctg

+ C1

, a 0.

a

2

+ x

2

a

a

a

a

1

11.

dx = ln

x + x2

a2

+C,

a 0 .

x2

a2

12.

1

dx =

1

ln

a + x

+ C, a 0.

a2

− x2

a − x

2a

13.

sh(x)dx = ch(x) + C.

14.

ch(x)dx = sh(x) + C.

1

dx = th(x)+ C .

15.

ch2 (x)

1

dx = −cth(x)+ C .

16.

sh2 (x)

Стаценко И.В. Лекция 13. Интегральное исчисление.

1

dx = ln

x + x2

+ 3

+ C .

3 + x2

1

dx

x

+ C .

= arcsin

2

3

3 − x

Пример 10.

1

dx =

1

ln

3

+ x

+ C .

3

− x

2

2 3

3 − x

6

2.

d ( f (x)dx)= f (x)dx .

Доказательство:

d ( f (x)dx)= d (F (x) + C ) = dF (x) = F (x)dx = f (x )dx .

3.

( dF (x))= F (x) + C ,

C − const .

Доказательство:

dF (x) = F (x)dx = f (x)dx = F (x) + C ,

C − const .

4.

cdx = c dx = cx + C1 ,

c,C1 − const .

Доказательство:

cdx = d (cx) = cx + C1,

c,C1 − const .

5.

(c1 f (x) + c2 f2 (x))dx = c1 f1 (x)dx + c2 f2 (x)dx ,

c1,c2 − const .

виде x = (t) , где функция (t)

имеет непрерывную первую производную и

обратную функцию t = Ф(x) на промежутке D оси Ox , тогда

f (x)dx = f ( (t )) (t )dt .

(5)

Доказательство:

d

=

d

(6)

dx

f (x)dx

dx

f ( (t ))

(t )dt .

d

dt

f (x) =

f ( (t )) (t )dt

.

(7)

dt

dx

f (x) = f (

(

t )

(

t

)

dt

=

f (

(

t )

(

t

)

1

= f

(

t

))

= f (x) .

(8)

)

dx

)

(t )

(

= −

1

cos(u) + C = −

1

cos(3x) + C .

3

3

Пример 14.

x2

1

x sin (x2 )dx = sin (x2 )d

=

sin(x2 )d (x2 ) =

u = x2

=

2

2

1

sin (u )d

(u ) = −

1

cos(u )+ C = −

1

cos (x2 )+ C .

2

2

2

Здесь

под

знак

дифференциала

была подведена переменная x

следующим образом:

x2

xdx = d

.

2

9

Пример 15.

ln (x)

udu =

ln2 (x)

dx =

ln(x)d

(ln(x)) =

u = ln(x)

=

+ C .

x

2

Здесь

под знак дифференциала

была

подведена переменная x

следующим образом:

(x + 5)3 dx = (x + 5)3 d (x + 5)

=

u = x + 5

= u3du =

1

u4 + C =

1

(x + 5)4

+ C.

4

4