Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 9

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

478.83 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 9. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора.

Лекция 9

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

		1. Теорема Ролля
Теорема 1. Пусть
1.	Функция	f (x) определена и непрерывна в каждой точке x a,b .
2.	Функция	f (x) дифференцируема в каждой точке x a,b .
3.	f (a) f (b) c const .

Тогда в интервале

a,b существует такая точка

(по крайней мере, одна

точка ), что

f ( ) 0 .

Доказательство:

По условию теоремы

f (x) непрерывна на a,b .

силу

теоремы

Вейерштрасса

для

непрерывных

функций

f (x) достигает на отрезке

a,b своего

наименьшего

m и

наибольшего

M значений.

Для всех остальных x a,b выполняется условие m f (x) M .

Возможны две ситуации:

m M . В этом случае x a,b

f (x) m M и, соответственно,

x a,b

f (x) 0. В этом случае точек бесконечное множество.

m M .

Пусть

m f (x1 ) ,

M f (x2 ),

тогда

из

условия

f (a) f (b) c const следует,

что, по крайней мере,

одна из точек

или

лежат внутри интервала a,b .

Пусть

x1 a,b . Тогда

от

точки

можно

задать

правое

и левое

приращение функции в виде:

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

			x x x	, x x ,
		1			1
		x x x ,		x x .
		1			1
Рассмотрим
f x1 0	lim		f x1 x f x1		lim	f	.
f x1 0	lim		x		lim	x	.
	x 0		x		x 0	x
f x1 0	lim		f x1 x	f x1	lim	f	.
f x1 0	lim		x		lim	x	.
	x 0		x		x 0	x

См. рис.1

f (a) f (b)

f (x x )

a	x x	x	x1 x	b
	x x	x	x1 x
	1	1

Рис.1.

(1)

(2)

(3)

(4)

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

Из рис.1. видно, что
f x1 0 0, т.к.	x 0,	f
f x1 0 0, т.к.	x 0 ,	f

0 .	(5)
0 .	(6)

Тогда	f x1 0 и	x1 .
Пусть	x2 a,b .	Тогда от точки x2 можно задать правое и левое

приращение функции в виде см. рис.2.

f (x x ) f (x x )

f (a) f (b)

a	x2 x	x2	x2 x	b

Рис.2.

Из рис.2. видно, что

f x2 0 0,	т.к.	x 0,	f
f x2 0 0 ,	т.к.	x 0 ,	f
Тогда f x2 0 и x2 .

0 .	(6)
0 .	(7)

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

2.Теорема Лагранжа

Теорема 2. Пусть

1.Функция f (x) определена и непрерывна в каждой точке x a,b .

2.Функция f (x) дифференцируема в каждой точке x a,b .

Тогда в интервале a,b существует такая точка (по крайней мере, одна точка ), что

f ( )

f b f a

b a

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию:

x a .

(x) f x f a

b a

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1.Функция (x) определена и непрерывна в каждой точке x a,b .

2.Функция (x) дифференцируема в каждой точке x a,b .

3.(a) (b) 0.

(8)

(9)

Найдем

(x) f x f a

f x

x a

b a

По теореме Ролля на a,b существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

f	b	f	a
( ) f				0.	(10)
( ) f	b a			0.	(10)
	b a

Откуда получим

f ( )	f b f a	.

	b a
Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.		На кривой y f (x) всегда
существует, по крайней мере, одна точка	M ,	f такая, что касательная
в этой точке будет параллельна хорде	соединяющей точки A a, f a ,
B b, f b . См. рис.3.

	B
M1	M 2
	M 2

	C

a	1	2	b

Рис.3.

3. Теорема Коши

Теорема 3. Пусть


1.	Функции	f (x)		и g (x) определены и непрерывны в каждой точке
	x a,b .
2.	Функции	f (x) и		g (x) дифференцируемы в каждой точке x a,b .
3.	x a,b		g (x) 0.

Тогда в интервале a,b существует такая точка				(по крайней мере, одна
точка ), что
	f ( )	f b f a	.	(11)
	g	g b g a

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

Доказательство:

Знаменатель дроби

f b f a

не может быть равен нулю, так как в

g b g a

случае g b g a по условиям

теоремы Ролля на интервале

a,b существует, по крайней мере,

одна

точка с : f c 0 ,

что

противоречит условиям теоремы Коши.

Введем вспомогательную функцию:

(x) f x f a

g x g a .

(12)

g b g a

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1.Функция (x) определена и непрерывна в каждой точке x a,b .

2.Функция (x) дифференцируема в каждой точке x a,b .

3.(a) (b) 0.

Найдем


	f b f a
(x) f x f a	f b f a	g x g a

	g b g a
	g b g a

	f	b	f	a
f x					g x .
	g b g a

По теореме Ролля на a,b существует, по крайней мере, одна точка что

f							g 0 .
f		b		f		a

g b g a

, такая,

(13)

Откуда получим

f ( )	f b f a	.
g
	g b g a

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

4.Правило Бернулли-Лопиталя

Гийом Франсуа Лопиталь (1661-1704 гг) французский математик, Иоганн Бернулли (1667-1748 гг) швейцарский математик.

Теорема 4. Пусть
1.	Функции	f (x) и g (x) дифференцируемы	в O x0 , за исключением
	может быть самой точки x0 .
2.		в некоторой окрестности точки	x0 , за исключением может
	g (x) 0

быть самой точки x0 .

3.	lim f x lim g x 0 или lim f
	x x0	x x0				x x0
4.	Существует lim		f (x)	.
4.	Существует lim			.
		x x0	g (x)
		Тогда
			lim		f (x)	lim
			lim		g(x)	lim
			x x0		g(x)	x x0

Доказательство:

x lim g x .

x x0

f (x)	.	(14)

g (x)

Доопределим функции f (x) и g (x) в точке x0 .	Пусть f (x0 ) g x0 0 .
Данная операция не изменяет значение предела	lim	f (x)	, так как точка x0
		g(x)
	x x0

в процессе вычисления предела выкалывается.

Тогда по теореме Коши в O x0 существует такая точка , что

f ( )	f x f x0	f x	.	(15)
g	g x g x0	g x

Переходя к пределу при x x0 , имеем две ситуации:

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

x0 0 x или

x x0 0 .

То есть точка всегда оказывается между точкой x и x0 . Тогда имеем

lim

f x

lim

f ( )

lim

f x

(16)

g x

x x0

g x

Пример 1. Найти

lim

tg(x) sin(x)

x 0

Решение:

cos(x)

tg(x) sin(x)

cos2 x

lim

x 0

lim

2cos 3 x sin(x) sin(x)

x 0

lim

6cos 3 x sin2 (x) 2cos 3 x cos(x) cos(x)

x 0

x 0 0

x ln

Пример 2. Найти

lim

Решение:


lim	x ln x 0	lim	ln x

				1
x 0 0		x 0 0
				x


		1
lim		x		lim x 0.
		x
	1
x 0 0	1			x 0 0
			x2


	ln x
	lim

	x 0 0	1




		x

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

5.Формула Тейлора

Тейлор Брук (1685-1731 гг) английский математик.

Теорема 5. Пусть

Функция f (x)

на отрезке

a,b имеет непрерывные производные до

n 1 порядка.

В интервале a,b у функции

f (x) существует n я производная.

Тогда в интервале a,b существует такая точка , для которой

справедлива формула

f b f a

f a

b a

f a

b a

f a

b a

...

f (n 1) a

n 1

f (n)

...

b a

(17)

n 1 !

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию:

x f x

f x

b x

f x

b x

f x

b x

...

f (n 1) x

n 1

(18)

n 1 !

где

M const .

В точке x a

правая часть функции

x совпадает с правой частью

формулы Тейлора, за исключением последнего члена.

Покажем,

что

константа

M у

данной

функции

такая

же как

формулы Тейлора,

т.е.

f (n)

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

Функция x удовлетворяет на отрезке a,b условиям теоремы Ролля:

1.x непрерывна на a,b .

2.x дифференцируема на a,b .

3.a b f b .

Найдем

x f x

f x

b x

f x

f (4)

b x

f (3)

b x

2 ...

f (n) x

n 1

f (n 1) x

b x

n 2

nM b x

n 1

n 1 !

n 2 !

Откуда следует

(19)

x f (n) x b x n 1 nM b x n 1 . (20)

n 1 !

Всоответствии с теоремой Ролля, на интервале a,b существует такая точка, для которой

f (n)

n 1

nM b

n 1

0 .

n 1 !

Из (21) получим, что

f (n)

n 1

nM b

n 1

n 1 !

Откуда следует

M f (n) . n!

(21)

(22)

(23)

Стаценко И.В. Лекция 9. Математический анализ.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024433.83 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024464.85 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024468.6 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024481.46 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024486.68 Кб0Лекция 8.pdf
#
16.05.2024478.83 Кб0Лекция 9.pdf