ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 6

Рассмотрим функцию

f (x) , определенную в окрестности О(x0 ) .

Зададим аргументу функции

приращение

x x x0 .

При этом

функция

получит соответствующее приращение f f x f x0 .

Определение 1. Функция

f (x) называется дифференцируемой в точке x0 ,

если ее приращение представимо в виде

f

А x x x ,

(1)

где А const ,

x - бесконечно малая функция при x 0.

Определение

2.

Величину А x называют главной

линейной

частью

приращения функции.

Определение

3.

Главную

линейную

часть

приращения

функции

f (x) называют дифференциалом функции в точке x0

и обозначают символом

df x0 df A x .

(2)

Определение

4.

Величину x x x0 называют

дифференциалом

независимой переменной и обозначают

dx x x x0 .

(3)

Тогда дифференциал функции

f (x) в точке x0 также можно записать в виде

df Adx .

(4)

2

lim

x x

lim

x

0,

(5)

А x

А

x 0

x 0

f f x0 x x x,

(6)

Доказательство (достаточность)

Пусть для функции

f (x) существует производная в точке x0 , тогда

f x0 с const .

(10)

Из определения производной в точке x0 -

f x0 lim

f

с const и теоремы об асимптотическом разложении

x 0

x

3

f f x0 x ,

(11)

x

где

x - бесконечно малая функция при x 0.

Из (11) следует, что приращение функции f (x) в точке

x0 представимо в

виде

f f x0 x x x,

(12)

где

x - бесконечно малая функция при x 0.

Таким образом, главная линейная часть приращения функции имеет

следующий вид

df x0 df f x0 x f x0 dx .

(13)

Из формулы (13) также следует альтернативный вариант обозначения

производной функции f (x) в точке x0

f x0

df

.

(14)

dx

Пример 1. Найти дифференциал функции

f (x) x3 в точке x

5 .

0

Решение.

df (5) 3x2

dx 75dx 75 x 5 .

x 5

f (x) x3 в точке x R .

Пример 2. Найти дифференциал функции

Решение.

df (x) d x3

3x2dx .

Пример 3. Записать производную функции f (x) x3 в точке

x R в виде

отношения дифференциалов (по Лейбницу)

Решение.

3x2

d x3

.

dx

Рассмотрим функцию

f (x) , определенную в окрестности О(x0 ) .

Зададим

аргументу

функции приращение x x x x .

При этом

0

функция получит соответствующее приращение f f x f x0 см. рис

1.

y

f x

f x0 x

B

C

x x

f x0

A

D

df (x0 )

x

x0

x0 x

Рис. 1.

Из геометрического смысла производной следует, что

f (x0 ) tg .

C другой

стороны

f (x0 ) tg

df

df

. Величина

df

есть катет

dx

x

СD треугольника АСD. Второй катет треугольника АСD- катет AD имеет

длину равную dx x .

Из

данного

представления

приращения функции

следует

приращению, которое получает ордината касательной к кривой

f (x) в точке

x0 в процессе

приращения функции,

соответствующего

приращению

x x x0 аргумента.

Разность

между приращением

функции

f f x f x0 и

дифференциалом (приращением ординаты касательной)

есть длина стороны

BC треугольника

АBС , которая определяется как вторая часть приращения

функции x x .

приращения функции следует,

что при x 0 f df (из рис.

1 следует,

что при x 0 треугольник

АBD будет неограниченно приближаться по

площади к площади треугольника АСD, так как длина стороны

BC будет

уменьшаться быстрее, чем длина стороны СD ).

приближенного определения значений различных функций.

Пример 4.

Используя

дифференциал

функции,

вычислить

приближенно

3 127 .

x 2 , x

x 127 ,

Решение:

Пусть f (x) 3 x ,

x 125,

0

0

f (x x ) 3 127 .

Полагаем,

что

x x

(приращение аргумента

0

0

f df ,

(15)

f x0 x f x0 df ,

(16)

f x0 x f x0 f x0 dx f x0 x ,

(17)

f x0 x f x0 f x0 x .

(18)

Используя (18), получим

1

2

3 127 3

125 2

3 x

5 2

5

.

75

33 x2

x 125

x 125

4.

Дифференциал суммы, произведения и частного

Рассмотрим две функции u(x) и v(x) , определенные в О(x0 ) .

Теорема 2.

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0 ,

тогда в точке

x0

будут дифференцируемы

функции:

c1u(x) c2v(x) , где

c1,c2 const ,

u(x)v(x) ,

u(x)

, при v x0 0 .

v(x)

При выполнении условий теоремы 2 в точке x0

будут справедливы

следующие формулы:

d c1u c2v c1du c2dv ,

(19)

d uv vdu udv ,

(20)

u

vdu udv

d

.

(21)

v

2

v

u (x0 )dx u dx du ;

v (x0 )dx v dx dv.

(22)

u

u

u v v u

v

u dx

u

v dx

vdu udv

d

dx

dx

.

v

2

v

2

v

2

v

2

v

v

Пример 5.

Найти дифференциал функции

f (x) ex ln(x) в точке

x

1.

0

Решение:

df (1) d

ex ln(x)

ex

ln

x

ex

1

dx

edx e

x 1 .

x 1

x

x 1

Рассмотрим сложную функцию f u(x) , определенную в O x0 .

Теорема 3. Пусть функция

f u

дифференцируема в точке u0 u x0 ,

а

функция u(x) дифференцируема в точке x0 , тогда сложная функция

f u(x)

дифференцируема в точке

x0 и

справедлива

следующая

формула для

производной сложной функции:

df

du

f u(x)

x x

f u0 u x0

.

(23)

du

dx

0

u u

x x

f u

0

0

Замечание 3.

Если функция

дифференцируема в точке u R ,

а

функция u(x)

дифференцируема

в

точке x R , тогда сложная

функция

f u x f u u x

df

du

.

(24)

du

dx

Доказательство (формулы 23)

Так как функция

f u дифференцируема

в

точке

u0 u x0 ,

то ее

приращение в точке u0 u x0 представимо в виде:

f

f u0 u u u ,

lim 0 .

(25)

u 0

Так как функция u x дифференцируема в точке x0 ,

то ее приращение в

точке x0 представимо в виде:

u u x0 x x x,

lim 0 .

(26)

x 0

Подставим в (25) приращение (26), тогда

f f u0 u x0 x x x u x0 x x x .

(27)

lim

f

lim

f u0

u x0 x u x0 x .

(28)

x 0

x

x 0

Учитывая, что

из x 0

и непрерывности функции u x следует,

что

u 0, тогда по условию

lim 0 и

lim 0 . В результате формула

x 0

u 0

(28) принимает вид:

lim

f

f u x

f u0 u x0 .

(29)

x 0

x

x x

0

Пример 6. Найти производную функции

f (x) sin(cos(x)) в точке x R .

Решение:

Рассмотрим сложную функцию f u x sin u x , где u x cos(x).

Тогда

f (u x ) sin u cos (x)

d sin(u)

d cos(x)

cos u sin(x)

du

dx

sin (cos(x))

cos cos(x) sin(x)

2

2

x

x

cos

.

2

2

4

4

v(x) дифференцируема в точке x R , тогда сложная функция

f u v x

дифференцируема в точке x R и справедлива следующая

формула для

производной сложной функции:

f u v x

f u u v v u

df

du

dv

.

(30)

du

dv

dx

Пример 6.

Найти производную функции f (x) sin(cos(sin(x)))

в точке

x R .

Решение:

Рассмотрим

сложную

функцию

f u v(x) sin u v(x) , где

u v(x) cos(v(x)) ,

v(x) sin(x) .

Тогда

f (u x ) sin u cos (v)sin (x)

d sin(u)

d cos(v)

d sin(x)

du

dx

dv

1 x

Пример 7. Показательно-степенной является функция

f x 1

,

x

заданной на множестве действительных чисел для x 1 и x 0.

Теорема 4.

Если функции

u x и

v x дифференцируемы в точке

x0 и

u x0 0,

то функция

f x u x v( x) дифференцируема в точке x0 ,

при

этом

v( x0 )

ln u x0

v x0

f x0 u x0

v x0

u x0 .

u x0

10

ln f x

ln u x v( x)

v x ln u x .

(31)

Пример 8. Найти производную функции

f x sin(x)cos( x) в точке

x0

.

6

ln

f (x)

cos(x)ln

sin(x)

;

f (x)

sin(x) ln sin(x)

cos(x)

cos(x) ;

f (x)

sin x