ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 5
.pdf1
Лекция 5. Производная функции. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Необходимое условие существования производной. Теорема о производных суммы, произведения и частного.
|
|
Лекция 5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
|||||
|
1. |
Понятие производной |
|
|
|
|
||||
Рассмотрим функцию |
f (x) , определенную в окрестности О(x0 ) . |
|
||||||||
Зададим аргументу функции приращение |
x x x0 . |
При этом |
функция |
|||||||
получит соответствующее приращение f |
f x f x0 . |
|
|
|
||||||
Замечание 1. |
Величину |
x |
x x |
будем |
называть |
положительным |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
приращением функции в точке x0 , если x x0 . |
|
|
|
|
|
|||||
Замечание 2. |
Величину |
x x x |
будем |
называть |
отрицательным |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
приращением функции в точке x0 , |
если x x0 . |
|
|
|
|
|
||||
Замечание 3. |
Величину x x x0 будем называть приращением функции в |
|||||||||
точке x0 , если x x0 или x x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 1. Конечный предел отношения приращения функции |
f к |
|||||||||
приращению |
аргумента |
x |
данной |
функции |
в |
точке |
x0 |
при |
x 0называется |
производной функции в |
точке |
x0 и |
обозначается |
||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f x0 lim |
f |
lim |
f x f x0 |
lim |
f x0 x f x0 |
. |
(1) |
|||
x |
x x |
|
x |
|
||||||
x 0 |
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Замечание 4. |
Величину x будем называть приращением функции |
|
в точке |
|||||||
x , если из |
точки |
x R совершается |
положительное |
или |
отрицательное |
|||||
приращение в точку x x R . |
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Замечание |
5. |
Величину |
f |
|
f x x f x будем |
называть |
|||||
приращением функции |
в точке x , соответствующем приращению аргумента |
||||||||||
x в точке x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. |
Конечный предел отношения приращения функции f к |
||||||||||
приращению аргумента |
x |
данной функции в точке x |
при |
x 0 |
|||||||
называется |
производной функции |
в |
|
точке x и обозначается следующим |
|||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x lim |
f |
lim |
|
f x x f x |
. |
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 0 |
x |
x 0 |
|
x |
|
|
||
Пример 1. |
Найти производную функции f (x) x2 в точке x |
1, используя |
0
определение производной (1).
Решение.
|
2 |
|
|
|
|
2 12 |
x |
|
|
lim |
1 |
x |
|
|
|
x |
lim |
|||
|
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти производную функции определение производной (2).
Решение.
2 x x 2 |
lim 2 x 2 . |
|
x |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
f (x) x2 |
в точке x R , используя |
|
x2 |
lim |
|
x x 2 x2 |
lim |
2x x x 2 |
lim |
2x x |
|
2x . |
||||||
|
|
|
x |
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 3. |
Найти |
производную функции |
f (x) sin(x) |
в точке x0 0, |
||||||||||||
используя определение производной (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin(x) |
|
lim |
sin 0 x sin(0) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
sin( x) |
1. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
x 0 |
x |
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4. |
Найти производную функции |
f (x) sin(x) |
в |
точке |
x R , |
||||||||||||||||||||||
используя определение производной (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2x x |
|
||||
|
|
|
|
sin |
x x sin(x) |
|
|
|
2sin |
|
cos |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
sin(x) lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
2x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
2 |
|
|
|
|
|
cos x . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В решении использовалась формула тригонометрии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
sin x sin y 2sin |
x y |
x y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5. |
Найти производную функции |
f (x) ex |
в точке x R , используя |
||||||||||||||||||||||||
определение производной (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex lim |
ex x ex |
|
lim |
ex e x |
1 |
lim |
ex x |
|
ex |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
x |
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
В решении использовалось следствие из второго замечательного предела:
e x 1 |
(x) , |
при x x |
|
|
|
|
0 |
|
|
если |
lim (x) 0. |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
Пример 6. Найти производную функции |
f (x) ln(x) |
в точке x R , |
x 0, |
|
используя определение производной (2). |
|
|
|
Решение.
ln(x) lim |
ln x x ln x |
lim |
|
x |
|||
x 0 |
x 0 |
||
|
|
|
|
x |
ln x |
|
ln x 1 |
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
ln x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
ln x ln 1 |
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
1 |
|
|
lim |
|
|
x |
|
lim |
|
|
x |
|
. |
|
x |
|
|
x |
|
x |
||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В решении использовалось следствие из второго замечательного предела:
|
ln 1 (x) |
(x) , при x x0 |
|
|
|
если |
lim (x) 0. |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
Пример 7. Найти производную |
функции f (x) x |
в |
точке x D, где |
|
D R область |
определения степенной функции, R , |
0 используя |
определение производной (2).
Решение.
x lim
x 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
x x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
|
|
x |
x |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В решении использовалось следствие из второго замечательного предела:
1 (x) 1 (x) , при x x0
если lim (x) 0.
x x0
Приемы определения производных, проиллюстрированные в примерах 4-7, позволяют сформировать следующую таблицу производных элементарных функций (см. таблицу 1).
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
x x 1 , |
|
x D, где |
|
D R область |
|
определения |
|
||||||||||||||
|
степенной функции, R , 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
ax ax ln a , |
|
|
|
a 0, x R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
ex ex , |
|
|
|
|
|
|
|
x R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
cos(x) , |
|
|
|
x R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
sin(x) , |
|
|
x R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
loga (x) |
|
1 |
|
, |
|
a 0, |
a 1, x 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
ln(x) |
1 |
, |
|
|
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определение 3. |
|
|
Конечный предел отношения приращения функции f к |
|||||||||||||||||||
приращению аргумента |
x |
данной функции в точке |
x |
при x 0 |
||||||||||||||||||
называется правой производной функции в точке |
|
x |
и обозначается |
|||||||||||||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f x 0 |
lim |
f |
|
lim |
f |
|
x x |
|
f |
|
x |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определение 4. |
|
|
Конечный предел отношения приращения функции f к |
|||||||||||||||||||
приращению аргумента |
x |
данной функции в точке |
x |
при x 0 |
называется левой производной функции в точке x и обозначается следующим образом:
f x 0 lim |
f |
lim |
f |
|
x x |
|
f |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание 6. Для того, чтобы существовала производная |
f x необходимо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и достаточно, чтобы |
|
|
f x 0 f x 0 c const . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке x0 |
|
0. |
||||||||||||||||||||||||||
Пример 8. Найти производную функции |
f (x) |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
Функция |
|
f (x) |
x |
в |
|
окрестности |
состоит из двух |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементарных функций, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x, |
|
|
|
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 0 0 lim |
|
|
f 0 x f 0 |
|
lim 0 x 0 1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f 0 0 lim |
|
f |
0 x f |
0 |
lim |
0 x 0 |
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
f x 0 f x 0 производная f (x) |
x |
|
в точке x0 0 не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример 9. Найти производную функции |
x2 |
в точке |
x |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
f |
|
|
|
0 0 |
|
lim |
|
|
|
|
lim |
3 |
|
1 |
|
2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 x |
|
|
|
3 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
f |
0 0 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
f |
x 0 |
|
|
|
c c o n sf t x 0 c const |
|
|
|
производная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 |
в точке |
x |
0 |
|
не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
7
2.Геометрический смысл производной
|
Рассмотрим функцию |
f (x) , определенную в окрестности О(x0 ) . |
||
Зададим аргументу функции приращение |
x x x x . При этом |
|||
|
|
|
0 |
|
функция получит соответствующее приращение f f x f |
x0 см. рис |
|||
1. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
f x0 x |
|
M1 |
|
|
|
|
|
||
|
f x0 |
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
x0 |
x0 x |
|
|
|
Рис. 1. |
|
|
Рассмотрим две точки на кривой графика функции f (x) - точки M 0 и M1 . Прямая линия, соединяющая данные две точки графика функции называется секущей.
Определение 5. Если при стремлении точки M1 к фиксированной точке M 0 секущая M0 M1 , независимо от закона приближения к точке M 0 , принимает некоторое предельное положение, то прямая являющейся данным предельным положением, называется касательной к графику функции f (x) в точке M 0 (или в точке x0 , так как координаты точки M0 x 0 , f x0 однозначно определяются через координаты точки x0 ).
Из рис. 1 видно, что тангенс угла наклона секущей M0 M1 -
tg |
f |
, |
(6) |
|
x |
||||
|
|
|
||
а тангенс угла наклона касательной к графику функции |
f (x) в точке M 0 - |
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg lim |
f . |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, производная функции f (x) |
в точке x0 |
- f x0 lim |
f |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
есть |
тангенс |
угла наклона |
касательной |
к |
графику |
функции в |
точке |
||||||||
f x0 |
M0 . В этом состоит геометрический смысл производной. |
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть касательная к графику функции |
f (x) |
в точке |
x0 |
задается |
||||||||||
функцией вида: |
(x) k1x b1 , тогда параметры касательной k,b |
можно |
|||||||||||||
найти по очевидным формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k1 tg |
lim |
f f x0 , |
|
|
|
|
|
(8) |
||||
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 f (x0 ) f x0 x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||
Параметр |
b |
найден |
при |
подстановке |
в |
|
уравнение |
||||||||
(x) k1x b1 f (x0 )x b1 |
вместо точки |
x |
константы |
x0 , |
а |
|
вместо |
||||||||
(x0 )величины f (x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда уравнение касательной |
(x) к графику функции |
f (x) |
в точке |
|||||||||||
x0 имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) f (x0 )x f x0 f (x0 )x0 |
f x0 f (x0 )(x x0 ) . |
|
|
(10) |
||||||||||
Определение 6. |
Прямая (x) k2 x b2 называется нормалью |
к |
графику |
||||||||||||
функции в точке |
x0 , если данная прямая перпендикулярна к касательной к |
||||||||||||||
графику функции в той же точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Используя сведения из аналитической геометрии, в частности, о том, |
что для перпендикулярных прямых k1k2 1, получим следующее уравнение нормали к графику функции в точке x0
|
|
(x) f x0 |
1 |
|
(x |
x0 ) . |
|
(11) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
f (x ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Замечание |
7. |
Если |
в |
точке |
x0 |
определена |
функция f (x) и |
||||
f (x0 ) с const , тогда |
при |
условии |
f (x0 ) |
будем |
полагать, что |
||||||
касательная |
к |
f (x) в точке |
x0 |
существует и |
задается |
уравнением x x0 |
|||||
(вертикальная |
прямая), а |
|
нормаль |
задается |
уравнением |
x f (x0 ) |
(горизонтальная прямая).
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
9
Пример 10. Найти уравнение касательной и нормали в точке x0 для
4
функции f (x) sin(x) . Решение.
(x)
(x)
Пример 11.
функции f (x) Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
sin |
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
1 |
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin |
cos |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
Найти уравнение касательной и нормали в точке x0 0 для
3x2 .
Так как f (0) 0, |
f (0 0) ; |
f (0 0) , то уравнение |
касательной для данной функции в точке x0 |
0 имеет вид: x 0 (ось Oy ), а |
уравнение нормали x 0 (ось Ox ) см. рис.2.
|
|
5 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.642 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
|
0 |
5 |
10 |
10 |
|
рис.2. |
|
|
|
|
|
x |
|
10 |
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.
10
3. Необходимое условие существования производной
Теорема 1. |
Если функция |
f (x) имеет производную в точке |
x0 , то она |
||||
непрерывна в этой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: По определению производной см. формулу (1) имеем |
|||||||
|
f x0 lim |
f |
lim |
f x0 x f x0 |
. |
(12) |
|
|
x |
x |
|||||
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
При этом производная в точке x0 существует, если f x0 с const . Тогда
по теореме об асимптотическом разложении функции, имеющей конечный предел получим:
|
f |
f x0 x , |
|
x |
|
где |
lim x 0 . |
|
|
x 0 |
|
Тогда
f f x0 x x x.
(13)
(14)
Из (14) следует, что из x 0 f 0 . Откуда следует, что функция f (x) непрерывна в точке x0 .
Замечание 2. Утверждение, обратное теореме 1 в общем случае неверно, так как не всякая непрерывная функция является дифференцируемой во всей своей области определения (см. примеры 8, 9)
Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.