Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

433.83 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 4

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. АСИМПТОТЫ

1. Непрерывность функции в точке

Определение 1.

Функция

f (x) , определенная

в окрестности О(x0 ) ,

называется непрерывной

в точке

x0 , если

выполняются следующие два

условия:

lim f x const ,

(1)

x x0

lim f x f x0 .

(2)

x x0

Определение 2.

Величину

x x x0

назовем

приращением аргумента

функции f (x) в точке x0 .

Определение 3.

Величину

f x f x0

назовем

приращением

функции f (x) в точке x0 ,

соответствующим приращению аргумента данной

функции x .

Преобразуем условие (2) следующим образом:

x x

lim

(3)

lim

(4)

x x

lim

f 0 ,

(5)

x x0 0

lim f 0 .

(6)

x 0

После проведенных преобразований имеем следующее следствие из определения 1.

Следствие (из определения 1).
Если функция f (x) , определенная в окрестности О(x0 ) , непрерывна в точке
x0 , то существует такая (x0 ), что
x (x0 )	lim f 0 .	(7)
	x 0
Если условия (1-2) или (7) для функции f (x)		в точке x0 нарушены, то

точка	x0 называется точкой разрыва функции (говорят, что функция f (x) в
точке	x0 ”терпит” разрыв).

2.	Классификация точек разрыва функции
Определение 4.	Точка x0 называется точкой устранимого разрыва
	0

функции f (x) , определенной в O(x0 ) , если выполняется следующее условие:

lim	f x lim	f x c const .	(8)
x x0 0	x x0 0

Определение 5. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции, определенной в O(x0 ) , если выполняется следующее условие:

lim f x	lim f x f x0 .				(9)
x x0 0	x x0 0
Пример устранимого разрыва –	функция f (x)	sin(x)	в точке	x 0	см.

		x		0

рис.1. В данном случае функция в точке x0 0 не определена и имеет место условие (8) в виде:

Функцию f (x)

У функции (11)

lim	sin(x)		lim	sin(x)		1.	(10)

x 0 0		x	x 0 0		x

sin(x) можно доопределить следующим образом: x

sin(x)		, x 0,


g(x) x		(11)
1,		x 0.

разрыва в точке x0	0 нет (разрыв устранен).

		1.25	y
1.25			y
		1
		0.75
f ( x)		0.5
		0.25			x
					x
20	12	4	4	12	20
0.25
		0.25
20		Рис.x1			20

Определение 6. Точка x0 называется точкой конечного разрыва (конечного

скачка) функции, определенной в O(x0 ) или O(x0 ) , если выполняется следующее условие:

	lim f x с1	lim f x c2 ,	с1,с2 const .	(12)
	x x0 0	x x0 0
Примеры конечного разрыва – функция			f (x) x в точкаx	xk k ,
k Z . На рис.2. функция представлена для случая x 0, при этом				в точках
xn n , n N	f (x) x определена и имеет место условие (12) в виде:
	lim x n 1 lim x n,		n N.	(13)
	x xn 0	x xn 0

1
f ( x)				x
				x

0	1	2	3

Рисx. 2.

Конечный скачок и устранимый разрыв называют разрывами первого рода. Все остальные разрывы функции называют разрывами второго рода.

К примеру, разрыв второго рода имеет функция	f (x)	1	в точке
К примеру, разрыв второго рода имеет функция	f (x)	x	в точке
		x
x0 0 см. рис 3.

f(x) 10	5	0	5	10
		2

Рисx . 3

В данном случае в точке разрыва выполняется условие:

lim 1 ,

x 0 0 x

lim	1	.	(14)


x 0 0	x

Замечание к вопросу 3. В точках x0 разрыва второго рода к графику функции можно построить так называемые вертикальные асимптоты – прямые вида x x0 , обладающие следующим свойством: расстояние от точки кривой

(графика функции) до асимптоты стремится к нулю при движении точки вдоль кривой в бесконечность.

Определение 7. Прямая x x0 называется вертикальной асимптотой к графику
функции f (x) , если хотя бы один из пределов lim f x ,	lim f x равен
x x0 0	x x0 0
.

Кпримеру, для функции f (x) 1x вертикальной асимптотой является прямая

x0.

3. Локальные свойства непрерывных функций

Рассмотрим определение непрерывной функции, вытекающее из

условий непрерывности функции в точке, см. формулы (1-2).
В	частности,	из условия lim f x f x0		следует		определение
		x x0
функции	f x , непрерывной в точке x0 в виде:
	0	0 : x (x0 )	f (x) f (x0 )		.	(15)
	0	0 : x (x0 )	f (x) f (x0 )		.	(15)

С учетом обозначения (6) можно записать также


0	0 : x (x0 )	f	.	(16)
В формулах (15-16) окрестность (x0 ) не проколотая, так как функция
f x непрерывна в точке	x0 . С использованием		формул (15-16)	можно

доказать следующие свойства.

Свойство 1. (О переходе к пределу под знаком непрерывной функции) или

(О внесении знака предел под знак непрерывной функции)

Рассмотрим сложную функцию y f (u(x)) ,					где функция u u(x)
0
определена в O x0 или в O x0 .
Если существует конечный предел функции u(x) в точке x0 вида:
lim u(x) a const ,							(17)
x x0
а функция y f (u) непрерывна		в точке	u a ,		то		сложная функция
y f (u(x)) имеет предел в точке x0		следующего вида:
lim f (u(x)) f	lim(u(x))		f	a		.	(18)
x x0	x x0

Доказательство:

Из непрерывности функции y f (u) в точке u a следует, что

1 0 1 0 : u 1 (a)

f (u) f (a)

1 .

(19)

Из условия lim u(x) a const следует, что

x x0

2 0 : x 0

2 0

2 (x0 )

u(x) a

2 .

(20)

Так как 2 - любое

сколь угодно

малое число, то пусть данное число

выбирается из диапазона 0 2

1 . Тогда из (19) и (20) следует, что

1 0 2 0 : x 0

2 (x0 )

u(x) a

1 .

(21)

Также можно записать, что

f u(x) f a

1 0 2

0 : x 2 (x0 )

1 .

(22)

Откуда следует, что

lim f (u(x)) f a .

x x0

Пример 1. Найти lim 2 x 1 .

x 1 0

Решение:

Рассмотрим сложную функцию y f u(x) , где u(x)

;

f (u) 2u .

Тогда в силу непрерывности функции

f (u) 2u на всей оси действительных

чисел получим:

lim

lim 2 x 1

2x 1 0 x 1

2 0 .

x 1 0

Свойство 2. (О непрерывности сложной функции)

Если функция u u(x)непрерывна в точке x0 ,

а функция

f (u) непрерывна в

точке u0 u(x 0 ) , то сложная функция

f u(x) непрерывна в точке x0 .

Доказательство: применим доказанное свойство (1).

x x0

lim f

u(x)

lim u(x)

u(x )

Так как функция u(x) непрерывна в точке

x0 , то при x x0

u u0 и

lim f u f u0 ,

u u0

что говорит о непрерывности функции

f u .

Свойство 3. (Об арифметических операциях над непрерывными функциями)

Если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то в точке x0					непрерывны
функции: f (x) g(x), f (x)g(x) ,	f (x)	при	g(x ) 0	,	Сf (x), где

	g(x)		0

С const .

Свойство 4. (Об устойчивости знака непрерывной функции)

Если функция f (x) непрерывна в точке x0 и f (x0 ) 0 , то в некоторой окрестности точки x0 функция f (x) сохраняет знак.

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Пусть функция f (x) определена в O(x0 ) .
Определение 8.	Функция	f (x) называется непрерывной справа в точке	x0 ,
если выполняется условие:
		lim f x f (x0 ) .	(23)
		x x0 0
Определение 9.	Функция	f (x) называется непрерывной слева в точке	x0 ,
если выполняется условие:

a,b

lim f x f (x0 ) .

x x0 0

Определение 10. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке если выполняются условия:

1. Функция непрерывна во всех точках интервала a,b .

2. Функция непрерывна в точке a справа.

3. Функция непрерывна в точке b слева.

Свойство 1. (О существовании нуля непрерывной функции)

(24)

a,b ,

Если функция f (x) непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения, противоположные по знаку, то существует, по крайней мере, одна точка с a,b , в которой f (c) 0 .

Свойство 2. (О промежуточных значениях непрерывной функции)

Если функция f (x) непрерывна на отрезке a,b , то на интервале a,b она принимает все промежуточные значения между f (a) и f (b) .

Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса)

Если функция f (x) непрерывна на отрезке a,b , то на данном отрезке она ограничена и имеет наибольшее и наименьшее значение.

5.Наклонные асимптоты

Рассмотрим	функцию	f (x) , определенную	на	интервале	с, ,
с const .
Определение 11.	Прямая g1 (x) k1x b1 называется правой асимптотой к
графику функции y f (x) , если выполняется условие:
	lim	f (x) g1 x 0 .			(25)
	x
Рассмотрим	функцию	f (x) , определенную	на	интервале	,c ,
с const .

Определение 12. Прямая g2 (x) k2 x b2 называется левой асимптотой к графику функции y f (x) , если выполняется условие:

	lim f (x) g2 x 0 .			(26)
	x
Величины	k1 , b1 и k2 , b2	называются параметрами соответственно
правой и левой асимптот.
Определение 13.	Прямая g1 (x)	или	g2 (x) называется	горизонтальной

асимптотой к графику функции y f (x) , если выполняется условие k1 0 или k2 0, при этом b1,b2 const .

Параметры асимптот можно найти по формулам:

	k1 lim		f (x)		,		(27)

			x
	x		x
	x
k2 lim			f (x)		,		(28)

			x
	x		x
	x
b1	lim	f (x) k1 (x) ,					(29)
	x
b2	lim	f (x) k2 (x) ,					(30)
	x
Доказательство формул (27-30):
По определению правой асимптоты					lim	f (x) g1 x 0 , тогда
					x
(x) f (x) g1 x бесконечно малая при x , т.е.
f (x) g1 x (x) k1x b1						(x) .	(31)
Разделив обе части	формулы		(31)	на x 0 , и перейдя			к пределу
при x , получим:

lim

Далее, вычитая перейдя к пределу при

f (x)		b	(x)
	lim k1	1		k1 .	(32)
		x
x	x		x
из правой части формулы (31) величину					k1x , и
x , получим:

									lim	f (x) k1 x lim													b1				(x) b1 .											(33)
									x											x
	По аналогии доказываются формулы (28,30).
Пример 2. Найти и изобразить асимптоты к графику функции f (x)																																					x3
																																							.
																																					x2	1	.
Решение:
1.	У функции								f (x)						x3			есть две вертикальные асимптоты в точках

													x2			1
	разрыва второго рода x1 1 и x2 1, так как
	lim					x3					1																	x					1
																	;					lim														;		(34)
						2											;					lim						2								;		(34)
	x 1 0 x					2			1												x 1 0 x							2	1
	x 1 0 x								1		0										x 1 0 x								1				0
	lim				x3							1									lim						x3						1
																;																			.			(35)
					2											;										2									.			(35)
	x 1 0 x				2		1														x 1 0 x					2		1
	x 1 0 x						1					0									x 1 0 x							1					0
2.	Найдем параметры правой и левой асимптоты:
				k1				lim						f (x)				lim					x2						1,									(36)

															x								2		1
									x						x			x x							1
																			x3												1
	b1	lim							f (x) k1x lim													x		lim										0 .				(37)
	b1	lim							f (x) k1x lim										2			x		lim							2			0 .				(37)
			x														x x				1						x x					1
				k2				lim						f (x)				lim					x2						1,									(38)

															x								2		1
									x						x			x x							1
																			x3												1
	b2	lim							f (x) k2 x lim													x		lim										0 .				(39)
	b2	lim							f (x) k2 x lim										2			x		lim							2			0 .				(39)
			x														x x				1						x			x		1

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024278.18 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024394.75 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024391.73 Кб0Лекция 16.pdf
#
16.05.2024339.63 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024466.92 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024433.83 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024464.85 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024468.6 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024481.46 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024486.68 Кб0Лекция 8.pdf
#
16.05.2024478.83 Кб0Лекция 9.pdf