ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 3

1

Лекция 3

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ

1.

Первый замечательный предел

Рассмотрим

функцию

f (x) sin(x) ,

определенную

в

проколотой

x

окрестности точки x0

0. См. график функции в системе координат xОy на

рис.1.

1.25

y

1.25

1

0.75

f ( x)

0.5

0.25

x

20

12

4

4

12

20

0.25

0.25

20

Рис.x1

20

sin(x)

Докажем, что lim

x

1. Данная закономерность известна как

x 0

первый замечательный предел.

площадь кругового сектора OAС .

Получим SOAD

sin(x) cos(x)

;

SOBC

tg(x)

;

SOAC

x

.

2

2

2

B

1

А

f1( x)

О

х

f2( x)

2

1

0

D

1

C

2

2

2

2

Рис.2

2

x

Заметим, что

SOAD SOAC SOBC , т.е.

sin(x) cos(x)

x

tg(x)

.

(1)

2

2

2

Разделим на

sin(x)

все части

данного

неравенства, учитывая, что

x 0

2

0

выколотая точка:

cos(x)

x

1

.

(2)

sin(x)

cos(x)

1

sin(x)

cos(x) .

(3)

cos(x)

x

1

x

Рассмотрим функцию

f (x) 1

, определенную на всей

x

числовой оси, за исключением отрезка 1,0 .

См. график функции для x 0

в системе координат xОy на рис.3. и при x 0 на рис. 4.

4

4

y

3.6

2.8

2.4

f ( x)

2

1.6

1.2

0.8

0

0.4

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Рис.3

0

x

10

y

3.5

3.4

3.3

3.2

3.1

f(x)

3

2.9

2.8

x

2.7

2.6

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

2.5

0

x

Рис.4.

1

x

lim

1

1,

(7)

x

x 0 0

1

x

lim

1

.

(8)

x 1 0

x

Известно, что

1 x

lim

1

e,

(9)

x

x

1

x

lim

1

e.

(10)

x

x

Эйлера или числом Непера.

До вычисления пределов

в левых частях формул (9) и (10) имеют

место неопределенности вида:

1 0

и 1 0

соответственно.

Следствие (из второго замечательного предела)

Если в формулах (9-10) сделать замену переменной

u

1

, тогда из x

x

следует, что u 0.

В

результате

имеем

новую форму второго

замечательного предела

1

lim 1 u

u

e .

(11)

u 0

3 x

Пример 3. Найти lim 1

.

x

x

3 x

u

3

x

3

3

1

3

3

lim 1

x

u

lim 1 u u

lim 1

u u

e

.

x

x

x u

0

u 0

u 0

1

x

Пример 4. Найти

lim 1

.

x

5x

Решение:

x

1

1

1

1

1

u

x

1

1

5

lim 1

5x

5u

lim 1 u

5u

lim 1

u u

e 5 .

x

5x

x u

0

u 0

u 0

Определение 1. Если выполняется условие

lim

(x)

0

,

(12)

x x0

(x)

по отношению к функции (x)

при x x0 . Данный факт обозначается

также следующим образом:

( (x)) , при x x0 ,

(13)

что читается как функция (x)

о – малое по отношению к (x) при x x0 .

Пример 5. Функция (x)

x

1 2

- бесконечно малая высшего порядка

малости при x 1 по отношению к функции x x 1, так как

lim

x 1 2 0.

x 1

x 1

2 (x 1) при

Поэтому можно записать, что

x 1

x 1.

(x)

x ,

при

x x0 .

(18)

Пример 7.

Функция (x) x2

1

- бесконечно малая одного порядка

малости при

x 1 по отношению к функции x x 1, так как

lim

x2 1

2.

x 1

x 1

Пример 8. Функция (x) x2 1

-

эквивалентная бесконечно малая при

x 1 по отношению к функции

x

2

x 1 , так как

lim

x2

1

1.

x 1 2

x

1

Пусть (x) и (x)- бесконечно малые функции при x x0 .

Определение 4. Если выполняется условие

lim

(x)

c const, c 0 ,

(19)

k (x)

x x0

по отношению к функции (x)

при x x0 . Данный факт обозначается

следующим образом:

x ( k (x)) , при x x0 .

(20)

Пример 9. Функция (x) sin2 x

- бесконечно малая второго порядка

4.

Свойства эквивалентных бесконечно малых

Свойство 1.

Пусть 1 x

2 (x), а 1 x

2

(x) при x x0 . Тогда, если

существует

lim

2 x

, то существует lim

1 x

, причем

2 x

1

x

x x0

x x0

lim

1 x

lim

2

x

.

(21)

1 x

2

x

x x0

x x0

Доказательство:

lim

1 x

lim

1 x 2 x 2 x

1 x

2 x 2 x 1 x

x x0

x x0

lim

1

x

lim

2

x

lim

2

x

1 lim

2 x

1 lim

2 x

.

2

x

2

x

1

x

2

x

2 x

x x0

x x0

x x0

x x0

x x0

Свойство

2.

Пусть

x

(x)

при

x x0 .

Тогда функция

(x) x (x)

будет бесконечно малой более высокого порядка при

x x0 , чем каждая из величин x или (x) , т.е.

(x) (x) (x)

,

(x) (x)

(x)

.

(22)

Доказательство:

lim

x x

lim

x

lim

x

1 1 0

,

x

x

x x0

x

x x0

x x0

lim

x x

lim

x

lim

x

1 1 0 .

x

x

x x0

x

x x0

x x0